Уровни энергии и волновая функция частицы, находя-щейся в прямоугольной потенциальной яме

 

Уравнения (8.4.1) и (8.4.6) являются сложными дифференциаль-ными уравнениями в частных производных. Известны аналитические решения только для очень простых зависимостей потенциальной

энергии. U      
Рассмотрим следующую задачу: час-      
    U =∞  
тица находится в одномерной прямоуголь- U = ∞ U = 0  
ной потенциальной яме с бесконечно вы-      
       
сокими стенками (рис. 8.8.1). Потенциаль-     x  
ной ямой с бесконечно высокими стенками      
  L  
называется область пространства, в кото- Рис. 8.8.1  
     
рой потенциальная энергия определена со-        
отношениями        
∞, x <0    
    ≤ x ≤ L . (8.8.1)  
U (x)=0, 0  
  ∞, x > L    
     
               

 

В одномерном случае U = U(x), ψ = ψ(x), Δψ = d 2ψ , поэтому  
dx2  
стационарное уравнение Шредингера (8.4.6) примет вид    
     
d 2ψ( x )+ 2m ( E − U ( x ) )ψ( x) = 0 .   (8.8.2)  
dx2 h2      

Поскольку потенциальная энергия U за границами ямы беско-нечно велика, то вероятность нахождения частицы за пределами ямы равна нулю. Тогда значения функции ψ на границах ямы (в точках с координатами х = 0 = L) должны быть равны нулю, т. е. получаем гра-ничные условия для собственной волновой функцииψ(х):

 

ψ(0) = 0, ψ(L) = 0. (8.8.3)

 

Так как внутри ямы U = 0, то уравнение (8.8.2) примет вид


 

 


      d 2ψ( x ) + 2m E ψ( x)=0.         (8.8.4)  
          dx2 h2          
                             
Обозначим                                
2 m E = 2 m mυ2 = ( 2π)2 p2 2 π 2 = k , (8.8.5)  
h h h =      
          λ            
с учетом этого получает дифференциальное уравнение вида    
          d 2ψ + k 2 ψ ( x) = 0 .         (8.8.6)  
          dx2                      
Общее решение дифференциального уравнения (8.8.6) имеет вид  
      ψ(x) = A sin kx + B cos kx.         (8.8.7)  

 

Подставим в формулу (8.8.7) первое граничное условие из (8.8.3)

 

ψ(x) = A sin 0 + B cos 0 = 0 ⇒ B = 0. (8.8.8)

 

С учетом второго граничного условия из (8.8.3) решение урав-нения (8.8.8) будет иметь вид

 

ψ(x) = A sin kx. (8.8.9)

 

Подставим второе граничное условие (8.8.3) в выражение (8.8.9)

 

ψ(L) = A sin kL = 0. (8.8.10)

 

Выполнения условия (8.8.10), возможно лишь в случае, если

 

kL =±nπ,где n = 1, 2, 3, 4, … . (8.8.11)

 

Значение n = 0 отпадает, поскольку при этом получается ψ = 0 − частица нигде не находится.

 

Подставим в выражение (8.8.11) выражение (8.8.5)

2m E L = ± nπ⇒ E = π2h2 n2,где n = 1, 2, 3, 4, … . (8.8.12)  
h2 n 2mL2    
     

Из выражения (8.8.12) видно, что спектр собственных энергий

 

частицы в рассматриваемой потенциальной яме является дискрет-ным. Этот результат согласуется с гипотезой Планка о квантовании энергии и является характерным свойством уравнения Шредингера. Также следует отметить то факт, что энергия микрочастицы в со-стоянии с наименьшим значением п = 1 (в основном состоянии) не


 


равна нулю.

 

Число n, определяющее допустимые значения энергий микро-частицы, называется главным квантовым числом. Квантовое стацио-нарное состояние с заданным значением n имеет фиксированное зна-чение энергии Еn (Еn = const). Состояние с фиксированной энергией соответствует в классическом случае движению частицы некоторой орбите, параметры которой удовлетворяют закону сохранения энергии

(К + П = const).

 

Из выражения (8.8.11) следует, что волновое число

 

k = nπ , где n = 1, 2, 3, 4, … . (8.8.13)  
L  
       

Так как волновое число k связано с длиной волны де Бройля λБр соотношением

k = 2π = nπ , где n = 1, 2, 3, 4, … , (8.8.14)  
λБр  
  L      

то соответствующие длины волн де Бройля должны удовлетворять ус-ловию, при котором

L = n λБр ⇒ λ Бр = 2L , где n = 1, 2, 3, 4, … , (8.8.15)  
n  
         

 

т. е. на ширине L потенциальной ямы должно укладываться целое чис-ло полуволн де Бройля, (или целое число стоячих волн де Бройля).

 

Найдем выражение для волновой функции частицы, находящей-ся в бесконечной потенциальной яме. Подставим выражение (8.8.14) в выражение (8.8.9)

 

ψ ( x) = Asin nπ x . (8.8.16)  
   
  L    

Для нахождения значения А воспользуемся условием нормиров-ки волновой функции (8.3.7)

 

              L           L            
∫     Ψ   2 dV =1⇒∫ A2sin2 nπ xdx =1 ⇒ A2∫sin2 nπ xdx =1 ⇒  
     
                L           L          
∞                    
A2 L 2nπ     A 2 L L     2nπ          
      ∫(1 − cos L x)dx =1 ⇒   ∫ dx − ∫ 1 − cos L x dx =1 ⇒  
         
2 0         2 0              

 


2 L   A                            
A   =1 ⇒     =             ⇒   A =   . (8.8.17)  
      L     L  
Подставим (8.8.17) в выражение (8.8.16) и получим    
    ψ ( x) =       sin nπ x .     (8.8.18)  
                   
                L         L              
Полное выражение для волновой функции будет иметь вид  
    Ψ ( x) =               nπ   x e − iEt          
      sin   h .     (8.8.19)  
      L   L        
                                   
                                               

Квадрат модуля волновой функции, который является плотно-стью вероятности нахождения частицы заданной точке пространства, равен

 

f ( x )=   ψ ( x)   2 = sin2 nπ x . (8.8.20)  
     
     
          L   L состояний (n =  
             
Построим для четырех первых квантовых  
                       

= 1, 2, 3, 4) уровни спектра энергий (рис. 8.8.2, а), волновые функции (рис. 8.8.2, б) и плотность вероятности нахождения частицы заданной точке (рис. 8.8.2, в).

E E4 Ψ4 f4    
       
  Ψ f3    
E3      
       
  Ψ f2    
E2      
       
E1 Ψ1 f1    
           
  L x L x
  a б   в
    Рис. 8.8.2