Первое начало термодинамики при изохорическом, изо-барическом и изотермическом процессах

 

Изохорический процесс   p 2 Нагревание  
Если газ нагревается или охлаж-    
дается при постоянном объеме      
(рис.12.3.1), то dV = 0 и работа внешних 1 Охлаждение  
сил равна нулю        
           
        3    
δA = pdV ⇒ A12=∫δA =0 . (12.3.1) V  
        Рис. 12.3.1  
Сообщаемая газу извне теплота    
     
пойдет только на увеличение его внутренней энергии, т. е.  
  δQ = dU + δA ⇒ δQ = dU. (12.3.2)  
С учетом выражения (12.2.5)      
δQ = dU ⇒ C M ν dT = dU или dU =νCM dT . (12.3.3)  
    V       V  
Изменение внутренней энергии газа определятся соотношением  
      T        
    U =∫2 CVM νdT .   (12.3.4)  
      T1        
Если CM = const (что справедливо для идеального газа), то со-  
V              
отношение (12.3.4) можно записать в виде      
    T          
  U =ν CVM ∫2 dT = CVM ν( T2−T1). (12.3.5)  
    T1          

Получим выражения для молярной и удельной теплоемкостей идеального газа при постоянном объеме. Для идеального газа измене-ние внутренней энергии определяется соотношением

 

dU = i νRdT . (12.3.6)  
   
     

Подставим выражение (12.3.6) в (12.3.3) и выразим CVM

 

i ν RdT =νCM dT ⇒ CM = i νRdT = i R . (12.3.7)  
       
V V νdT      
         

 

Удельная теплоемкость соответственно равна


 


  c уд   СM i R      
    = V =         . (12.3.8)  
             
  V   M 2 M      
             
Изобарический процесс                
Работа, совершаемая газом при изобарическом процессе  
(рис. 12.3.2), равна                      
V V                  
A12=∫2 pdV = p ∫2 dV = p (V2− V1)= pV2− pV1=    
V1   V1                  
  =ν RT2 − ν RT1 =ν R (T2 −T1) . (12.3.9)  
Сообщаемая газу извне теплота, согласно выражению (12.2.6),  
равна                      
    δQ = C pM νdT .   (12.3.10)  
Первое начало термодинамики запишем в следующем в виде  
δQ = dU + δA ⇒ C pM ν dT = dU + pdV . (12.3.11)  

 

  p   Нагревание  
p1 = p2 1     2  
         
             
        A12    
  РисV.112.3.2 V2 V  
     


Продифференцировав уравнение Менделеева − Клапейрона при условии, что p = const, получим

 

pdV =νRdT. (12.3.12)

 

Подставим выражение (12.3.12) в (12.3.11)

 

C pM ν dT =2i ν RdT +νRdT . (12.3.13)

Молярная теплоемкость идеально-го газа при постоянном давлении равна


C pM = iν RdT +2ν RdT   = i +2 R . (12.3.14)  
   
      2νdT          
А удельная теплоемкость равна        
  уд   СpM   i +2 R      
cp =   =       . (12.3.15)  
M   M  
               

 

Из уравнений (12.3.7) и (12.3.15) можно получить формулу Майера

C M = i +2 R = i R + R = CM + R . (12.3.16)  
   
p V    
       

 


Изотермический процесс                            
Работа, совершаемая   газом при изотермическом процессе  
          V2                                  
(рис. 12.3.3), равна A12 = ∫ pdV . Выразим давление из уравнения  
          V1                                    
Менделеева − Клапейрона ( p = νRT V ) и подставим        
      V2 dV     V2 dV   V        
  A12=∫ν RT V   =ν RT ∫ V =νRT ln .       (12.3.17)  
    V    
        V           V                    
                                           
Эту формулу можно преобра- p                      
зовать и к иному виду, если учесть,   Изотермическое    
что при изотермическом процессе p1 1   расширение    
выполняется закон Бойля − Мариотта                    
p1 V1= p2 V2,откуда V2 = p1 . Тогда                            
                             
    V     p                                    
                                       
A =νRT ln p1 . (12.3.18)                     2    
                         
      p2           p2                    
                    A12= Q12            
Так как для идеального газа при T =                
                         
= const (dU = 0), то первое начало     V1               V2 V  
термодинамики можно записать в       Рис. 12.3.3      
следующем виде                                            
δQ = δA ⇒ Q   = A =ν RT ln V2 =νRT ln p1 .   (12.3.19)  
         
                V1       p2        
                                         
12.4. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона      
p                         Адиабатическим называется  
Адиабата       процесс, протекающий без тепло-  
        обмена с окружающей средой. Оп-  
                    ределим уравнение, связывающее  
p1 1                 параметры идеального   газа при  
                  адиабатическом процессе. Так как  
                     
p2     2           по условию δQ = 0, то первое нача-  
              ло термодинамики можно записать  
                   
  A12                
                  в следующем виде        
V1   V2              
      V 0 =δА + dU ⇒ δA = −dU. (12.4.1)  
Рис. 12.4.1                     Работа газа при адиабатиче-  
                           

ском процессе происходит за счет убыли внутренней энергии.


 


    Учитывая, что dU = i URdT =νC M dT ,аδA = pdV,получим  
       
                            V                              
                                                             
                      pdV = −νC M dT .                         (12.4.2)  
                              V                                  
    Выразим давление из уравнения   Менделеева − Клапейрона  
p = νRT   и подставим в (12.4.1)                                      
V                                      
                                                           
          −ν C M dT =νRT dV ⇒   −C M dT = RT dV .   (12.4.3)  
            V           V         V               V      
                                                       
    Приведем полученное выражение (12.4.3) к виду      
                          dT = − R   dV .                         (12.4.4)  
                          CM                            
                          T     V                              
                              V                                  
Проинтегрируем выражение (12.4.4) в пределах от Т1 до T2 , и от V1 до V2:  
          T2 dT     R V2 dV         T       R V      
          ∫               ∫ V                              
            T = −     ⇒   ln T = −       ln     .   (12.4.5)  
            CM     CM V    
          T         V V               V        
                                                             
    R     C pM −CVM     CpM                 CpМ     i +2 R = i +2    
    =   = − 1 = γ −1 ⇒ γ = =       , (12.4.6)  
                           
  CVM CVM     CVM                 CVМ   i           i    
                        2 R    
                                                   
где γ − адиабатическая постоянная.                                  
    Выражение (12.4.5) можно переписать в виде              
          ln T2 = − ( γ −1)ln V2                 γ−1      
          ⇒ ln T2 = ln V1     ⇒      
          T1               V1       T1     V2              
              T2 = V1 γ−1 ⇒ T V γ−1 =TV γ−1           (12.4.7)  
              T1         2 2                        
              V2                                        
или                                                              
                          TV γ−1= const.                         (12.4.8)  

Перейдем от этого уравнения к уравнению в переменных p, V. Для этого выразим из уравнения Менделеева − Клапейрона темпера-

 

туру: T = νpVR и подставим в уравнение (12.4.8)


 


pV V γ−1 = const ⇒ pV γ = const .  
  νR  
νR      

Учитывая, что ν и R − постоянные величины, получим pV γ= const.


 

(12.4.9)

 

(12.4.10)


 

Выражение (12.4.10) получило название уравнение Пуассона. Теперь перейдем к уравнению в переменных p, T. Из уравнения

 

Менделеева − Клапейрона выразим объем V = νRTp . Тогда подставив в уравнение (12.4.10) получим:

 

  ν RT   γ (12.4.11)  
p   = const .  
  p        

 

Так как ν и R − постоянные, получим

 

      γ (12.4.12)  
p T   = const или p1−γT γ = const .  
  p      

Определим работу, совершаемую газом при адиабатическом процессе. Так как при адиабатическом процессе δA = −dU, и учитывая, что dU = νCVМ dT , получим

                            δA = −νC М dT .                   (12.4.13)  
                                V                        
    Проинтегрировав полученное выражение от T1 до T2 , получим:  
    T             T                 m                
A12=∫2−ν CVМ dT = −ν CVМ ∫2 dT =ν CVМ ( T1− T2)= CVМ ( T1− T2). (12.4.14)  
M  
    T1             T1                                
                                                   
    Формулу (12.4.14) можно преобразовать следующим образом  
C М =   R   , а TV γ−1 =T V γ−1 .                                
  γ −1                                
V       1 1                                        
    Отсюда                                                
                            T = TV γ−1 .                   (12.4.15)  
                            1 1                      
                              V γ−1                        
                                                         
    Подставим (12.4.15) в выражение (12.4.14), и получим    
              RT1     V1   γ−1         p1V1   V1   γ−1        
      A =ν           или A =       , (12.4.16)  
                     
              γ −1     V               γ −1   V            
                                             

 


учитывая, что νRT1 = p1 V1 .

 

Политропические процессы

 

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиа-батический процессы происходят при постоянной теплоемкости. Про-цесс, при котором теплоемкость тела остается постоянной называется политропическим.Таким образом,условие,которое выполняется входе политропического процесса, заключается в том, что

C = const. (12.5.1)

 

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Для этого запишем уравнение первого начала термодинамики для идеального газа в виде

ν CdT =ν C М dT + pdV . (12.5.2)
V  

В полученное уравнение входят все три параметра: p, V и T. Ис-ключим параметр Т, и получим уравнение политропы в переменных p, V.Для этого продифференцируем соотношение pV =νRT: