Затухающие гармонические колебания

 

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы со-противления, действие которых приводит к уменьшению энергии сис-темы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это коле-бания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель-ной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вме-сте с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движе-ния, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

r (5.6.1)  
Fc = −μυ,  

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют про-

 

тивоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармо-нических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

 

ma =−kx − rυ. (5.6.2)

 

Учитывая, что a = d 2 x , а υ= dx , и разделив на массу m, получим dt2 dt


 

d 2 x + r dx +   k x = 0 .  
dt2              
m dt   m  
             
Применив обозначения k = ω2 и μ = 2β получим  
     
    m       m    
               
d 2 x + 2β dx     = 0 −  
    +ω x  
dt2         dt        
                     

 

(5.6.3)

 

(5.6.4)


дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Отметим,что

 

ω0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свобод-


 


ные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта часто-

 

та называется собственной частотой.

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

 

                                              x = z ⋅e−βt .                             (5.6.5).  
    Проведем замену переменных                                  
                                    dx = −β z ⋅ e −β t + dz e−βt   и                    
                                      dt             dt                                
d 2 x   d             −β t     dz   −βt     −βt       dz   −βt   d 2 z −βt    
  =             −β z ⋅ e   +       e   =β   z ⋅ e   − 2β       ⋅ e     +     2 e   . (5.6.6)  
dt   dt     dt       dt     dt    
                                                               
    Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)                
    −βt   − 2β dz   −βt + d 2z   −βt       −βt + dz   −βt       −βt =0. (5.6.7)  
β z ⋅ e     dt ⋅ e     dt e + 2β −βz ⋅ e   dt e   +ω0 z ⋅ e  
                                                                       
    Преобразуем, сократив на e−βt                                  
  − 2β dz +   d 2 z       −β z + dz     = 0 ⇒ d 2 z       ) z = 0 . (5.6.8)  
β z dt   dt + 2β dt +ω0 z dt + ( ω0 −β    
                                                                   
    Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало,  
что ω 2 −β 2 > 0 есть величина по- x                                  
                                                          x = A0 e −βt cos( ωt +ϕ)  
ложительная, и мы можем ввести A0          
обозначение ω2 −β 2 = ω2 , после че-                         A(t)= A e−βt  
                                                                         
го уравнение (5.6.8) принимает вид                                    
                                     
                    d 2 z   +ω2 z = 0 . (5.6.9)                               t  
                    dt                                                            
                                                                    T              
    В случае большого сопро-                                  
тивления     среды   ω2 −β 2 < 0 , дви-                                    
                                                                                     
жение становится непериодиче-               Рис. 5.6.1          
ским. Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде          
             
                                          z = A0cos(ω t +ϕ).                       (5.6.10)  

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения зату-


 


хающих колебаний (5.6.4)                                
x = A e −βt cos(ωt +ϕ)   или   x = A (t )cos(ωt +ϕ). (5.6.11)  
                                   
В соответствии с видом полученной функции движение можно  
рассматривать как гармоническое колебание с частотой    
            μ 2 ,   (5.6.12)  
ω= ω0 −β   =   ω0 −            
         
                      2 m          
периодом                                    
T = 2π =   2 π   =       2π       (5.6.13)  
                           
ω     ω02 −β2           μ   2    
                  ω0 −            
                           
                        2 m    
и амплитудой, изменяющейся по закону                    
      A(t ) = A e−βt .               (5.6.14)  
                               

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными ли-ниями показаны пределы , в которых находится смещение колеблю-щейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t),причем величина A0представляет собой амплитуду в начальныймомент времени. Начальное смещение зависит от A0 и также от на-чальной фазы ϕ, т. е. x0 = A0 cos ϕ.