Вычисление функций готовности и простоя нерезервированных систем

Нерезервированная система может находиться в любой момент времени t в одном из двух состояний;

0 — система работоспособна;

1— система неработоспособна и ремонтируется.

Обозначим вероятность этих состояний через P₀(t) и P₁(t). Очевидно, что K_Г(t) = P₀(t), K_П(t) = P₁(t).При длительной эксплуатации (t→ ∞) могут быть достигнуты установившиеся значения коэффициента готовности - К_Г= Р₀ и коэффициента простоя - К_П = Р₁.

Рис. 4.4. Схема состояний нерезервированной системы. В прямоугольниках - номера состояний, над стрелками – интенсивности перехода.

Рассмотрим вначале случай, когда время безотказной работы и время восстановления имеют экспоненциальные (показательные) распределения. На рис. 4.4 приведена схема состояний системы, на которой изображены, возможные состояния и интенсивности переходов. В соответствии со схемой рис. 4.4 и приведенными выше правилами написания дифференциальных уравнений имеем:

(4.38)

Если при t = 0 система находилась в работоспособном состоянии, то начальные условия P₀(0) = 1, P₁(0) = 0 и в результате решения системы уравнений (4.38) получим:

(4.39)

Если при t = 0 система находилась в состоянии восстановления, то Р₀(0)=0, P₁(0) = l и в результате решения системы уравнений (4.38) получим:

(4.40)

При длительной эксплуатации t→ ∞ получаем стационарные значения коэффициентов готовности и простоя, не зависящие от начальных условий:

(4.41)

Поскольку λ=1/T₀, μ=1/T_в, то можно записать:

(4.42)

т. е. коэффициент готовности характеризует долю времени, в течение которого система работоспособна, а коэффициент простоя — долю времени, в течение которого она ремонтируется (см. п. 3.2.3.1).

Выражения для коэффициентов готовности и простоя можно записать непосредственно по схеме состояний, используя следующее правило:

Чтобы определить стационарные вероятности P_к нахождения системы в k-м состоянии, необходимо идти по направлению стрелок из каждого крайнего состояния в k-e по кратчайшему пути и перемножить все интенсивности переходов, соответствующие проходимым стрелкам. Таким образом, проходятся все пути из всех крайних состояний в каждое состояние системы.

При разветвленной схеме состояний некоторые участки пути придется проходить несколько раз. При этом интенсивности переходов этих участков нужно учитывать только один раз. Вероятность Р_к (t) нахождения системы в k состоянии:

(4.42а)

где ΔK, Δj — произведения интенсивностей переходов из всех крайних состояний соответственно в k-e и j-е при движении по кратчайшему пути в направлении стрелок; m+1—число состояний системы.

При определении стационарных вероятностей этот алгоритм особенно удобно использовать в случаях облегченного резерва, а также при таком числе ремонтных бригад r, когда m > r > 1.

При движении по направлению стрелки из состояния 1 в состояние 0 интенсивность перехода равна μ, а из состояния 0в состояние 1=λ.Следовательно,

При произвольном законе распределения хотя бы одной из случайных величин (времени безотказной работы или времени восстановления) используется метод интегральных уравнений. Например, при показательном распределении времени безотказной работы и произвольном распределении времени восстановления G(τ) имеем интегральное уравнение

или в преобразованиях Лапласа

(4.43)

По (4.43) принципиально возможно вычислить К_Г(t)=P₀(t) при любом распределении времени восстановления. Однако превратить эту возможность в действительность удается не всегда.

При нескольких работоспособных состояниях

(4.44)

где n —число работоспособных состояний; P_j(t) - вероятность j-го работоспособного состояния.

Часто число неработоспособных состояний значительно меньше числа работоспособных. При этом удобнее вычислять коэффициент простоя:

(4.45)

где Pi(t) - вероятность i-гонеработоспособного состояния; m+1 — общее число состояний.

⇐ Назад