ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Далее ⇒

ВВЕДЕНИЕ

Скорость и ускорение прямолинейного движения в общем случае определяются формулами

u = , a =

В случае прямолинейного равномерного движения

u = = const, a = 0.

Для прямолинейного равнопеременного движения

s =u₀ t + , u = u₀ + at, a = const.

В этих уравнениях ускорение a положительно при pавноускоренном движении и отрицательно при pавнозамедленном.

При криволинейном движении полное ускорение

a = .

Здесь — тангенциальное (касательное) ускорение и — нормальное (центростремительное) ускорение, причём

= , = ,

где u — скорость движения и R — радиус кривизны траектории в данной точке.

При вращательном движении в общем случае угловая скорость и угловое ускорение находятся по формулам

w = , e = = .

В случае равномерного вращательного движения угловая скорость

w= = = 2pn,

где T — период вращения, n — частота вращения, т.е. число оборотов в единицу времени.

Угловая скорость w связана с линейной скоростью u соотношением

u = wR.

Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде

= eR , =w²R

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением

F dt = d(mu).

Если масса m постоянна, то

F = m = ma,

где a — ускорение, которое приобретает тело массой m под действием силы F.

Работа силы на пути s может быть выражена формулой

A = ,

где F_s — проекция силы на элементарное перемещение d , ds — длина элементарного перемещения. Интегрирование должно быть распростра-нено на весь путь s. В случае постоянной силы, действующей под углом a к перемещению, имеем

A = F s сosa,

где a — угол между силой и перемещением .

Мощность определяется формулой

В случае постоянной мощности

Здесь A — работа, совершаемая за время t. Мощность может быть определена также формулой

N = Fu сosa,

т.е. произведением скорости движения на проекцию силы на направление движения.

Для кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью u, имеем

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.

Импульс замкнутой механической системы постоянен при любых взаимодействиях тел системы, т.е.

+ +¼+ = const.

Полная механическая энергия системы, между телами которой действуют консервативные силы, постоянна, т.е.

= = const,

где — потенциальная энергия системы.

Работа A неконсервативных сил равна изменению механической энергии системы, т.е. A = , и — механическая энергия системы в конечном и начальном состоянии.

При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть разложена на две составляющие — тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая

является центростремительной силой. Здесь u — линейная скорость движения тела массой m, R — радиус кривизны траектории в данной точке.

Сила, вызывающая упругую деформацию x, пропорциональна деформации, т.е.

F = k x,

где k — жёсткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию, равную единице).

Потенциальная энергия упругого тела

Две материальные точки (т.е. такие тела, размеры которых малы по сравнению с их взаимным расстоянием) притягиваются друг к другу с силой

где G = 6,672×10^–11 Н×м/кг² — гравитационная постоянная, m₁ и m₂— массы взаимодействующих материальных точек, r — расстояние между ними. Этот закон справедлив и для однородных шаров; при этом r — расстояние между их центрами масс.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел

Знак "минус" соответствует тому, что при r = ¥ потенциальная энергия двух взаимодействующих тел равна нулю; при сближении этих тел потенциальная энергия убывает.

Момент M силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

M = F l,

где l — расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

I = m r²,

где m — масса материальной точки и r — её расстояние до оси вращения.

Момент инерции твёрдого тела относительно оси его вращения

где интегрирование должно быть распространено на весь объём тела. Производя интегрирование, можно получить момент инерции тела любой формы.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

где R — радиус цилиндра и m — его масса.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ относительно оси цилиндра

для тонкостенного полого цилиндра R₁ » R₂ = R и I » mR².

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

Если для какого-либо тела известен его момент инерции I_c относительно любой оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции I относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера

где m — масса тела и d — расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения выражается уравнением

M×dt = dL = d(Iw),

где M — момент сил, приложенный к телу, L — момент импульса тела (I — момент инерции тела, w — его угловая скорость). Если I = const, то

где e — угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

где I — момент инерции тела и w — его угловая скорость.

ЗАДАЧИ

1 (1.2). Первую половину своего пути автомобиль двигался со скоростью u₁ = 80 км/ч, а вторую половину со скоростью u₂ = 40 км/ч. Какова средняя скорость u движения автомобиля?

2 (1.8). Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через время t = 3 с. Какова была начальная скорость u₀ тела и на какую высоту h оно поднялось?

3 (1.9). Камень бросили вертикально вверх на высоту h = 10 м. Через какое время t он упадёт на землю? На какую высоту h поднимется камень, если начальную скорость камня увеличить вдвое?

4 (1.10). С аэростата, находящегося на высоте h = 300 м, упал камень. Через какое время t камень достигнет земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью u = 5 м/с; б) аэростат опускается со скоростью u = 5 м/с; в) аэростат неподвижен?

5 (1.12). Тело падает с высоты h = 19,6м с начальной скоростью u₀= 0. Какой путь пройдёт тело за первую и последнюю 0,1 с своего движения?

6 (1.14). Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину всего пути. С какой высоты падает тело и каково время t его падения?

7 (1.16). Расстояние между двумя станциями метрополитена l = 1,5 км. Первую половину этого расстояния поезд проходит равноускоренно, вторую — равнозамедленно с тем же по модулю ускорением. Максимальная скорость поезда u = 50 км/ч. Найти ускорение a и время t движения поезда между станциями.

8 (1.18). Поезд, двигаясь равнозамедленно, в течение времени t = 1 мин уменьшает свою скорость от u₁= 40 км/ч до u₂ = 28 км/ч. Найти ускорение a поезда и расстояние s, пройденное им за время торможения.

9 (1.19). Поезд движется равнозамедленно, имея начальную скорость u₀ = 54 км/ч и ускорение a = –0,5 м/с². Через какое время t и на каком расстоянии s от начала торможения поезд остановится?

10 (1.20). Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную скорость u₁₀ и ускорение a₁. Одновременно с телом 1 начинает двигаться равнозамедленно тело 2, имея начальную скорость u₂₀ и ускорение a₂. Через какое время после начала движения оба тела будут иметь одинаковую скорость?

11 (1.22). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением , где A = 2 м/с, B = 3 м/с² и C = 4 м/с³. Найти: а) зависимость скорости u и ускорения a от времени t; б) расстояние s, пройденное телом, скорость и ускорениетела через время t = 2 с после начала движения.

12 (1.24). Зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением , где A = 3 м, B = 2 м/с и C = 2 м/с². Найти среднюю скорость u_ср и среднее ускорение a_ср тела за первую, вторую и третью секунды его движения.

13 (1.26). С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью u = 15 м/с. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадёт на землю? С какой скоростью он упадёт на землю? Какой угол j составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

14 (1.27). Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t = 0,5 c на расстоянии l = 5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью он брошен? С какой скоростью он упадёт на землю? Какой угол составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю?

15 (1.28). Мяч, брошенный горизонтально ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l = 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на Dh = 1 м меньше высоты h, с которой брошен мяч. С какой скоростью u брошен мяч? Под каким углом мяч подлетает к поверхности стенки?

16 (1.29). Камень, брошенный горизонтально, через время t = 0,5 с после начала движения имел скорость u в 1,5 раза большую скорости u_x в момент бросания. С какой скоростью u_x брошен камень?

17 (1.32). Мяч брошен со скоростью u₀= 10 м/с под углом a = 40° к горизонту. На какую высоту поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадёт на землю? Какое время t он будет в движении?

18 (1.33). На спортивных состязаниях в Ленинграде спортсмен толк-нул ядро на расстояние l₁ = 16,2м. На какое расстояние l₂ полетит такое же ядро в Ташкенте при той же начальной скорости и при том же угле наклона её к горизонту? Ускорение свободного падения в Ленинграде g₁ = 9,819 м/с², в Ташкенте g₂ = 9,801 м/с².

19 (1.35). Камень, брошенный со скоростью u₀ = 12 м/с под углом a = 45° к горизонту, упал на землю на расстоянии l от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место?

20 (1.40). Мяч, брошенный со скоростью u₀ = 10 м/с под углом a = 45° к горизонту, ударяется о стенку, находящуюся на расстоя нии l = 3 м от места бросания. Когда происходит удар мяча о стенку (при подъёме мяча или при его опускании)? На какой высоте h мяч ударит о стенку (считая от высоты, с которой брошен мяч)? Найти скорость u мяча в момент удара.

§ 2. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1 (1.41). Найти угловую скорость: а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращения Т = 88 мин. Какова линейная скорость u движения этого искусственного спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии h = 200 км от поверхности Земли?

2 (1.44). Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии l = 0,5 м друг от друга, вращается с частотой n =1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол j = 12°. Найти скорость u пули.

3 (1.45). Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость u точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на расстоянии l = 5 см ближе к оси колеса.

4 (1.46). Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости w = 20 рад/с через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

5 (1.47). Колесо, вращаясь равноускоренно, через время t = 1 мин после начала вращения приобретает частоту n = 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов N колеса за это время.

6 (1.48). Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшило свою частоту с n₁ = 300 об/мин до n₂ = 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов N колеса за это время.

7 (1.49). Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

8 (1.50). Вал вращается с частотой n = 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением e = 3 рад/с². Через какое время t вал остановится? Найти число оборотов N вала до остановки.

9 (1.51). Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением a_t= 5 см/с². Через какое время после начала движения нормальное ускорение a_nточки будет: а) равно тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального?

10 (1.52). Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с поcтоянным тангенциальным ускорением a_t. Найти тангенциальное ускорение a_tточки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u = 79,2 см/с.

11 (1.53). Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением a_t. Найти нормальное ускорение a_nточки через время t = 20 с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u = 10 см/с.

12 (1.54). В первом приближении можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с линейной скоростью u. Найти угловую скорость вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение a_n. Считать радиус орбиты r = 0,5×10^–¹⁰ м и линейную скорость электрона на этой орбите u = 2,2 10⁶ м/с.

13 (1.55). Колесо радиусом R = 10 см вращается с угловым ускоре-нием e = 3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w; б) линейную скорость u; в) тангенциальное ускорение a_t; г) нормальное ускорение a_n; д) полное ускорение a; е) угол a, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

14 (1.56). Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени даётся уравнением , где C = 0,1 см/с³. Найти нормальное a_n и тангенциальное a_tускорения точки в момент, когда линейная скорость точки u = 0,3 м/с.

15 (1.57). Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени даётся уравнением , где B = 2 м/с и C = 1 м/с². Найти линейную скорость u точки, её тангенциальное a_t, нормальное a_nи полное a ускорения через время t = 3 c после начала движения, если известно, что при t = 2 с нормальное ускорение точки a_n= 0,5 м/с².

16 (1.58). Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через время t = 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол a = 60° с вектором её линейной скорости.

17 (1.59). Колесо вращается с угловым ускорением e = 2 рад/с². Через время t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса a = 13,6 см/с². Найти радиус колеса.

18 (1.60). Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени даётся уравнением , где B = 2 рад/с и C = 1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t = 2 с после начала движения: а) угловую скорость; б) линейную скорость u; в) угловое ускорение; д) тангенци-альное a_tи нормальное a_nускорения.

19 (1.61). Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени даётся уравнением где D = 1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти изменение тангенциального ускорения Da_tза единицу времени.

20 (1.63). Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени даётся уравнением где B = 1 рад/с, C = 1 рад/с² и D = 1 рад/с³. Найти радиус R колеса, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, нормальное ускорение a_n=3,46 10² м/с²

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1 (2.1). Какой массы m балласт надо сбросить с равномерно опускающегося аэростата, чтобы он начал равномерно подниматься с той же скоростью? Масса аэростата с балластом M = 1600 кг, подъёмная сила аэростата F = 12 кН. Считать силу сопротивления F_сопрвоздуха одной и той же при подъёме и при спуске.

2 (2.3). Стальная проволока некоторого диаметра выдерживает силу натяжения T = 4,4 кН. С каким наибольшим ускорением a можно поднимать груз массой m = 400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась?

3 (2.5). К нити подвешена гиря. Если поднимать гирю с ускоре нием a₁= 2 м/с², то сила натяжения нити T₁ будет вдвое меньше той силы натяжения T₂ при которой нить разрывается. С каким ускорением a₂надо поднимать гирю, чтобы нить разорвалась?

4 (2.6). Автомобиль массой m = 1020 кг, двигаясь равнозамедленно, останавливается через время t = 5 с, пройдя путь s = 25 м. Найти начальную скорость u₀ автомобиля и силу торможения F.

5 (2.7). Поезд массой m = 500 т, двигаясь равнозамедленно в течение времени t = 1 мин уменьшает свою скорость от u₁ = 40 км/ч до u₂ = 28 км/ч. Найти силу торможения F.

6 (2.9). Какую силу F надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время t = 30 с прошёл путь s = 11 м? Масса вагона m = 16 т. Во время движения на вагон действует сила трения F_тр, равная 0,05 действующей на него силы тяжести mg.

7 (2.11). Вагон массой m = 20 т движется равнозамедленно, имея начальную скорость u₀ = 54 км/ч и ускорение a = – 0,3 м/с². Какая сила торможения действует на вагон? Через какое время t вагон остановится? Какое расстояние s вагон пройдёт до остановки?

8 (2.12). Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причём зависимость пройденного телом пути s от времени t даётся уравнением , где C = 5 м/с² и D = 1 м/с³. Найти силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения.

9 (2.14). Тело массой m = 0,5 кг движется так, что зависимость пройденного телом пути s от времени даётся уравнением s = A sinwt, где A = 5 см и w = p рад/с. Найти силу F, действующую на тело через время 1/6 с после начала движения.

10 (2.15). Молекула массой m = 4,65×10^–²⁶ кг, летящая по нормали к стенке сосуда со скоростью u = 600 м/с, ударяется о стенку и упруго отскакивает от неё без потери скорости. Найти импульс силы F×t, полученный стенкой за время удара.

11 (2.16). Молекула массой m = 4.65×10^–²⁶ кг, летящая со скоростью u = 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом a = 60° к нормали и упруго отскакивает от неё без потери скорости. Найти импульс силы полученный стенкой за время удара.

12 (2.19). Трамвай, трогаясь с места, движется с ускорением a = 0,5 м/с². Через время t = 12 с после начала движения мотoр выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. Коэффициент трения на всем пути k = 0,01. Найти наибольшую скорость и время t движения трамвая. Каково его ускорение a при равнозамедленном движении? Какое расстояние s пройдёт трамвай за время движения?

13 (2.20). На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения F_тр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Какова должна быть сила тяги F, развиваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался а) равномерно; б) с ускорением a = 2 м/с²?

14 (2.22). Шар на нити подвешен к потолку трамвайного вагона. Вагон тормозится, и его скорость за время t = 3 с равномерно уменьшается от u₁ = 18 км/ч до u₂ = 6 км/ч. На какой угол a отклонится при этом нить с шаром?

15 (2.23). Вагон тормозится, и его скорость за время t = 3,3 с равномерно уменьшается от u₁ = 47,5 км/ч до u₂ = 30 км/ч. Каким должен быть предельный коэффициент трения k между чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможении начал скользить по полке?

16 (2.25). На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения F_тр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: а) в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном.

17 (2.26). На автомобиль массой m = 1 т во время движения действует сила трения F_тр, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением a = 1 м/с² в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

18 (2.30). Две гири с массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг cоединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити T. Трением в блоке и массой блока пренебречь.

19 (2.31). Невесомый блок укреплён на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁ = m₂ = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол k = 0,1. Найти ускорение a, с которым движутся гири, и силу натяжения нити T. Трением в блоке и массой блока пренебречь.

Далее ⇒