Визначення фазової швидкості поширення коливань методом стоячих хвиль

Теоретичні відомості

Якщо в пружному середовищі маємо джерело коливань, то частки середовища почнуть коливальний рух. Коливання буде передаватися від однієї частки середовища до іншої – у середовищі поширюється хвиля. Частки середовища не переміщуються разом із хвилею, а коливаються відносно своїх положень рівноваги. Хвиля є подовжньою, якщо частки коливаються відносно своїх положень рівноваги у напрямку поширення хвилі. Хвиля є поперечною, якщо частки коливаються навколо свого положення рівноваги у перпендикулярному поширенню хвилі. Від джерела коливань у точці О поширюється хвиля (рис. 1). Рівняння хвилі, що поширюється уздовж y:

, (1)

де х – зсув точки С, що знаходиться на відстані игрек від джерела коливань О, від положення рівноваги; А – амплітуда коливань; - циклічна частота; - фаза коливань; - хвильове число; довжина хвилі ; ν – частота; Т – період коливань.

Рис.1

Чим далі розташована точка від джерела коливань, тим пізніше почне вона коливатися, тобто більше буде запізнюватися за фазою (див. рис.1).

Якщо рухатися уздовж напрямку поширення коливань з деякою швидкістю V, то можна так підібрати величину V, що ми не побачимо коливального руху: точки пружного середовища, повз яких ми рухаємося, будуть знаходитися в одній фазі.

Якщо, наприклад, ми в початковий момент знаходимося проти гребеня хвилі, то увесь час будемо бачити гребінь, якщо проти западини – то западину.

Таким чином, ми припускаємо, що в даному напрямку поширюється фаза коливань. Швидкість поширення фази коливань називається фазовою швидкістю хвилі.

Вираз для фазової швидкості можна одержати в такий спосіб. Зафіксуємо яке-небудь значення фази φ.

Нехай

, (2)

тоді - координата точки, що має фазу

в момент часу t.

Звідси швидкість V , з якою рухається фаза φ₀, дорівнює .

Підставивши ω = 2πν і , одержимо:

V = λν, (3)

Формули (2) і (3) є співвідношеннями для всякого хвильового процесу.

Відомо, що у твердих тілах можуть поширюватися і подовжні, і поперечні хвилі (у рідинах і газах – тільки подовжні).

Швидкість поширення хвиль визначається фізичними властивостями середовища. Так, у струні фазова швидкість отриманих хвиль відповідно до теорії пружності дорівнює

, (4)

де - лінійна щільність струни (маса одиниці довжини);

F_н – сила натягу струні.

Якщо хвиля поширюється уздовж струни, закріпленої на кінцях, то досягши кінця струни, вона відіб'ється. Рівняння відбитої хвилі має вигляд

. (5)

Якщо у струні поширюються назустріч одна одній дві хвилі, то рух кожної точки струни є результуючим коливанням цих хвиль – прямої і відбитої. У результаті інтерференції хвиль, що біжить і відбитої, виникає стояча хвиля.

Рівняння стоячої хвилі можна одержати, склавши зсув точок, викликаний хвилями, яка біжить (1) і відбитою (5). Якщо загасання цих хвиль немає і відображення повне, то їхні амплітуди однакові (А₁ = А₂ = А). Рівняння стоячої хвилі має вигляд

. (6)

Із цього рівняння видно, що у стоячій хвилі точки роблять гармонійний коливальний рух відносно положення рівноваги з амплітудою коливань

, (7)

яка є періодичною функцією координати y і не залежить від часу. У точках, координати яких задовольняють умову

, (8)

амплітуда коливань максимальна і дорівнює 2А. Ці точки називаються пучностями. Координати пучностей дорівнюють:

; ; (n = 0, 1, 2, ... ) (9)

У точках, координати яких задовольняють умову,

, (10)

амплітуда коливань дорівнює нулю. Ці точки називають вузлами. Координати вузлів дорівнюють:

; ; (n = 0, 1, 2, ...). (11)

Коливання у всіх точках стоячої хвилі, що знаходяться між двома сусідніми вузлами, відбуваються з різними амплітудами (0 < a ≤ 2A), але з однаковими фазами.

З умов (9) і (11) видно, що відстань між сусідніми вузлами і між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини хвилі. Сусідні вузли і пучності знаходяться на відстані 2/4 одне від одного.

Положення вузлів і пучностей в обмеженому пружному тілі (стрижні, струні) залежить від граничних умов. Наприклад, на закріплених кінцях струни завжди знаходяться вузли стоячої хвилі. Між ними можуть розташовуватися кілька вузлів, пучностей. На вільних кінцях стрижня завжди знаходяться пучності стоячої хвилі, тому що в цьому випадку кінець має найбільшу амплітуду коливань.

При утворенні стоячої хвилі, коли відображення йде від менш щільного середовища, на межі розподілу утворюється пучність; коли ж відображення йде від більш щільного середовища, відбита хвиля втрачає , і на межі двох середовищ утворюється вузол.

Стійка картина стоячих хвиль в обмеженому пружному тілі, зокрема у струні, виникає тільки при визначених частотах. Вони називаються власними частотами коливань струни (пружного тіла). Обчислимо ці частоти для струни, закріпленої на кінцях. Нехай довжина струни дорівнює l, а швидкість хвилі в ній v. Підберемо таку частоту коливань, при якій у струні встановиться стояча хвиля. На кінцях виходять вузли, а між ними – одна або кілька пучностей. Відстань між сусідніми вузлами дорівнює половині довжини хвилі, отже, на довжині струни укладеться ціле число напівхвиль

; (n = 1, 2, 3, ...). (12)

Підставимо λ з (3) у (12), одержимо:

. (13)

Результати (12) і (13) мають принципове значення. Вони показують, що в системі, на яку накладені визначені граничні умови, можливі лише визначені дискретні значення частот вільних коливань (власних частот).

У роботі стоячі хвилі застосовуються для знаходження фазової швидкості поперечних хвиль у пружному середовищі (струні).

Прилади

Прилад, за допомогою якого одержуємо стоячі хвилі, на рис. 2.

Рис.2

Струна прикріплена з однієї сторони до вушка затиску О. Натяг струни здійснюється вантажем mg, підвішеним до іншого кінця. Періодична сила діє на струну за допомогою стрижня О, зв'язаного з дифузором динаміка. Під час подачі на динамік змінного струму від звукового генератора починає коливатися стрижень О.

У момент збігу частоти генератора з однією з власних частот струни в останній встановлюється стояча хвиля.

Порядок виконання роботи

1. Включити у схему звуковий генератор.

2. Тумблером включити генератор за 3..5 хв до початку роботи.

3. Перемикач опору встановити на 600 Ом.

4. Встановити номінальне значення 3 В. Повертаючи ручку, встановити стрілку на 2,5 В.

5. Підвісити до струни вантаж, маса якого 0,5 кг.

6. Повільно змінювати частоту коливань, які подають на струну, від 20 до 150 Гц. Знайти частоту ν, при якій на довжині струни укладається одна напівхвиля (n = 1).

7. Змінюючи частоту, домогтися, щоб на довжині струни укладалося більше число півхвиль (n = 2, 3, 4, 5).

8. Довільно змінюючи вантаж (0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1 кг), для кожного вантажу знайти частоти ν, що відповідають будь-якому числу півхвиль n(1+5) . Записати у таблицю m, ν, n.

9. Встановити на приладі шкалу частот у початкове положення, і на вольтметрі встановити стрілку у положення 0. Зняти вантаж, виключити прилад.

10. Визначити експериментальну фазову швидкість поширення коливань за формулою V = λν.

11. Визначити теоретично цю швидкість за формулою:

, де ρ_l – лінійна щільність.

Лінійна щільність ρ_l = ρS, де S – перетин дроту;

ρ – об'ємна щільність (ρ _міді = 8,93·10³ кг/м³) (ρ_сталі = 7,9 ·10³ кг/м³)

, де d – діаметр дроту.

12. Порівняти V _е_кспер. з V_теор_.

13. Побудувати графік залежності фазової швидкості від сили натягу струни (V_экспер_._ср_. = f (F_н_.)).

Таблиця 1

m = 0,5 кг

m = 0,6 кг

m = 0,7 кг

V_экспер_.

ν, Гц

V_теор_.

V_{экспер.} _ср

Продовження таблиці 1

m = 0,8 кг

m = 0,9 кг

m = 1 кг

V_{экспер.}

ν, Гц

V_теор.

V_{экспер.} _ср

Контрольні запитання

1. Що таке стояча хвиля?

2. Умови виникнення стоячих хвиль.

3. Які частоти коливань називаються власними частотами.

4. Як змінюються амплітуди і фази коливань у стоячій хвилі?

5. Як підрахувати лінійну щільність струни?

6. Які механічні хвилі можуть виникнути у пружному тілі?

7. Від чого залежить фазова швидкість поширення поперечних хвиль у пружному тілі?

Лабораторна робота № 10

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника (метод Бесселя)

Теоретичні відомості

Фізичним маятником зветься тіло, здатне робити вільні коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр ваги тіла.

Частковим варіантом фізичного маятника є оборотний маятник, що являє собою циліндричний стрижень, на якому закріплені опори О₁, О₂ у вигляді тригранних призм (рис. 1,б). Відстань між призмами постійна і дорівнює l = а₁ + а₂ (довжина маятника).

На стрижні закріплене нерухоме тіло (m₂) у формі чечевиці і вантаж, що може переміщатися уздовж шкали (ОС) (див. рис. 1,б). Обчислимо період коливань фізичного маятника (рис. 1,а).

Рис.1а Рис. 1.б

Сила повертає маятник у положення рівноваги.

(1)

Для невеликих кутів sin φ = φ. Тоді

. (2)

Знак « - » показує, що сила спрямована у бік, протилежний зсуву. На фізичний маятник діє момент сили

, (3)

де а = ОС – відстань від осі обертання до центра ваги маятника. Основне рівняння динаміки обертального руху для фізичного маятника

, (4)

де I – момент інерції маятника щодо осі О,

, (5)

кутове прискорення маятника.

Підставимо формули (3) і (5) у (4), одержимо

. (6)

Перетворимо

. (7)

Позначивши

, (8)

де ω₀ – частота власних коливань фізичного маятника, одержимо однорідне диференціальне рівняння другого порядку

. (9)

Рішенням рівняння (9) буде гармонійна функція

, чи

тобто фізичний маятник під дією квазіпружньої сили f_τ робить гармонійні коливання.

Із формули (8) можна визначити період коливань фізичного маятника, знаючи, що :

, , (10)

де

- приведена довжина фізичного маятника. (11)

За теоремою Гюйгенса – Штейнера

I = I₀ + ma², (12)

де I₀ – момент інерції фізичного маятника щодо осі, що проходить через центр ваги С; m – маса маятника; а – відстань від центра ваги С до осі обертання О.

Підставимо формулу (12) у формулу (10), тоді

. (13)

⇐ Назад