Елементи теорії випадкових помилок
МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ УКРАЇНИ
Дніпропетровський національний університет
Залізничного транспорту імені академіка В.Лазаряна
Кафедра фізики
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ФІЗИЧНОГО ПРАКТИКУМУ
Частина 1
МЕХАНІКА
| Укладачі: | О.М. Гулівець М.Д. Волнянський Л.Г. Ломоносова Е.П. Штапенко |
Дніпропетровськ 2004
Укладачі: О.М. Гулівець, М.Д. Волнянський, Л.Г. Ломоносова, Е.П. Штапенко
УДК 53/057.8/К.61
Методичні вказівки до фізичного практикуму.Частина 1. МЕХАНІКА /Дніпропетр. національн. ун-т залізничн. трансп.; Укл.: О.М. Гулівець, М.Д. Волнянський, Л.Г. Ломоносова, Е.П. Штапенко / Дніпропетровськ, 2004.- 60с.
Методичні вказівки призначаються для студентів 1 та 2 курсів технічного університету усіх спеціальностей. Вони вміщують загальні вимоги до лабораторного практикуму, основи теорії помилок, описання вимірювальних приладів і порядок виконання лабораторних робіт. Запропонований лабораторний практикум відрізняє циклічний тематичний характер, наближений до лекційного курсу. Лабораторні роботи орієнтовані на перевірку фізичних законів, експериментальне вимірювання фізичних величин та порівняння їх з теоретично розрахованими значеннями.
Друкується за рішенням кафедри.
Рецензенти: проф., д. ф.-м. наук В.В. Клименко (ДНУ)
доц., канд. техн. наук С.А. Гришечкін (ДІІТ)
Редактор Т.В. Мацкевич
Підписано до друку 05.06.2004. Формат 60х84 1/16. Папір для множних апаратів. Ризограф. Ум-друк. арк. 4,2. Обл.-видавн. арк. 4,0. Тираж 500 прим. Зам. №3980. Видавн. №37. Безкоштовно.
Видавництво Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту
ДК № 1315 від 31.03.2003.
Адреса видавництва та дільниці оперативної поліграфії:
49010, вул. Акад. В. А. Лазаряна, 2, Дніпропетровськ, 10.
ВВЕДЕННЯ
Прогрес науки і техніки багато в чому визначається розвитком фізики. Тому поліпшення фізико-математичної підготовки студентів вузів є першорядним завданням.
Велику роль у вивченні фізики відіграє фізичний практикум. У лабораторіях студенти самостійно проводять експериментальні навчальні дослідження, одержують необхідні навики, вчаться користуватися сучасними приладами та обладнанням, осмислюють явища, за якими спостерігають, обробляють отримані результати і роблять висновки. Все це необхідно для засвоєння спеціальних дисциплін у наступній виробничій діяльності.
Методичні вказівки до фізичного практикуму призначені для студентів молодших курсів усіх спеціальностей. Практикум (частина 1) містить: введення в теорію помилок і опис лабораторних робіт з механіки.
У кожному лабораторному завданні наведені короткі теоретичні відомості, опис лабораторного пристрою і методу виміру, а також порядок виконання роботи.
Усі розрахунки рекомендується робити в SІ, користуючись правилами наближених обчислень. Графік краще будувати на міліметровому папері.
1. Вимір фізичних величин. Точність вимірів
Вивчення фізичних явищ супроводжується вимірами фізичних величин, що характеризують певні сторони і відносини предметів чи явищ. Вимір фізичної величини являє собою процес, у результаті якого експериментально встановлюється, у скільки разів величина, яка вимірюється, відрізняється від відповідної величини, прийнятої за одиницю виміру.
Розрізняють два види вимірів: прямі і непрямі. Прямі виміри – це виміри, результат яких безпосередньо дає шукану величину. Наприклад: вимір довжини лінійкою, штангенциркулем, мікрометром, інтерферометром, лазерними далекомірами; вимір проміжків часу за допомогою годинників, секундомірів, частотомірів, осцилографів; вимір температури термометрами, термопарами і т.ін.
Непрямі виміри – це такі виміри, при яких шукана величина визначається з результатів прямих вимірів інших величин, що зв'язані із шуканою величиною визначеною залежністю.
Через недосконалість вимірювальної апаратури, неповноту наших знань виникають труднощі в обліку всіх побічних явищ, що отримані в результаті виміру значення фізичної величини і відрізняється від її справжнього значення, тобто результат виміру завжди містить деяку похибку.
Розрізняють точність вимірювального приладу і точність виміру. Точність вимірювального приладу (зазначена на приладі) залежить від його конструкції і характеризується ціною розподілу (ціною розподілу називається значення найменшого розподілу шкали приладу). За допомогою вимірювального приладу можна робити вимір з похибкою, рівною половині ціни розподілу. При цьому варто керуватися правилами:
1. Вимірюючи за допомогою приладу деяку величину, ми не можемо зробити похибку меншою від тих, що визначаються точністю вимірювального пристрою.
2. Не можна чекати від вимірів більшої точності, ніж це необхідно для вирішення поставленої задачі.
3. При використанні табличних величин їх варто округляти таким чином, щоб їхня точність не перевищувала точності вимірюваних величин.
Після закінчення вимірів приступають до обчислення шуканої величини. Точність обробки числового матеріалу повинна бути погоджена з точністю вимірів.
Обчислення, зроблені з більшою, ніж це необхідно, кількістю десяткових знаків, вимагають зайвих витрат і створюють помилкове враження про більшу точність вимірів. Варто керуватися такими правилами:
Всі отримані величини перед постановкою у формули округляють за правилами наближених обчислень, тобто число, що виражає результат, пишуть так, щоб у ньому всі значущі цифри, крім останньої, були правильні.
У проміжних діях треба зберегти дві сумнівні цифри, що дає можливість точніше округляти остаточний результат.
Похибка характеризує останню значущу цифру обумовленої величини, тому в результаті варто обмежитися однією значущою цифрою і лише при дуже точних вимірах – двома.
2. Обробка результатів вимірів
Типи помилок
Розрізняють помилки: промахи, систематичні, випадкові. Промахи – це помилки, що виникають у результаті недбалості відліку з приладів чи нерозбірливості в записі показань.
Систематичні помилки – це помилки, що виникають через причини, що однаково діють при всіх повторних вимірах; величина цієї помилки однакова у всіх вимірах. Причини, що викликають систематичні помилки, досліджуються в тих розділах фізики, що розробляють методику відповідних вимірів.
Випадкові помилки – це помилки, які викликані різними випадковими причинами, наявність яких неможливо чи дуже важко врахувати. Можна вжити заходи до зменшення випадкових помилок, але цілком уникнути їх неможливо.
Елементи теорії випадкових помилок
Визначення випадкових помилок вивчають в теорії помилок – математичній дисципліні, яка заснована на законах теорії імовірності.
Розглядаючи випадкові помилки як один з видів випадкових подій, німецький математик Гаусс установив закон, за яким розподіляються помилки даного виду вимірів в залежності від своєї величини. Цей закон називається законом нормального розподілу, чи законом Гаусса. На рис. наведена крива, що відповідає цьому закону:
Рис. 
- величини помилок;
- імовірність появи помилки даної величини, де 
- число помилок, n – загальне число вимірів.
Крива показує: 1) найбільш імовірні випадкові помилки, близькі до нуля; 2) у міру збільшення помилки імовірність її появи швидко зменшується; помилки, рівні за величиною, але протилежні за знаком, рівноймовірні; 4) у разі вимірів однакової точності найбільш імовірним значенням вимірюваної величини є середнє арифметичне з усіх результатів вимірів.
Зображена крива відповідає теоретичному випадку нескінченно великого числа вимірів n, при якому величини помилок безупинно заповнюють усю область значень 
.
У випадку реального ряду вимірів число їх у ряді кінцеве, а розподіл дискретний. Недоречно говорити про імовірність появи помилки даної величини, а говорять про імовірність появи помилки, що лежить у межах деякого інтервалу 
Інтервал 
зветься довірчим; P – довірча чи імовірна надійність.
Аналітично закон Гаусса записується так:
,
де 
- дисперсія розподілу величини 
.
Із теорії випливає, що при n>30 
; 
називають генеральною середньоквадратичною помилкою (стандартна помилка окремого виміру),
, де 
.
При точних вимірах величина σ мала, а при грубих вимірах спостерігається більший розкид результатів і значення σ буде великим.
Обчислення відповідних площин при заданій дають такі результати:
| 
| 
| 
| 
| 
|
| Р | 0,08 | 0,38 | 0,68 | 0,95 | 0,99 |
У разі звичайних вимірів можна обмежитися Р=0,95. Для вимірів, у яких потрібен високий ступінь надійності, задають Р=0,99.
Обчислення довірчого інтервалу при обмеженому числі вимірів
Прямі виміри
В умовах фізичного практикуму важко повторити вимір більший ніж у 2-5 разів. У цьому випадку треба застосовувати методику, розроблену в 1908 році англійським вченим Гасетом (псевдонім Стьюдент). Він довів, що статистичний підхід справедливий з достатнім ступенем точності і при малій кількості вимірів (2 ≤ n ≤ 30).
Для оцінки точності кінцевого числа вимірів замість σ 
користуються вибірковою середньоквадратичною похибкою середньоарифметичного
.
Довірчий інтервал при цьому виражається в частках 
і відношення 
називається коефіцієнтом Стьюдента для різних p і n (див. додаток).
Після проведених n вимірів порядок оцінки помилок прямих вимірів такий. Необхідно:
1) переглянути результати вимірів, відкинути сумнівні;
2) визначити середнє арифметичне 
, де хi – результати окремих спостережень;
3) обчислити абсолютні похибки окремих вимірів 
і їхні квадрати (∆хi)2;
4) знайти середньоквадратичну похибку середньоарифметичного
;
5) відкинути промахи, для яких ∆хi >3S 
;
6) задати довірчу імовірність Р (у межах від 0,08 до 0,95);
7) з таблиці (див. додаток 1) знайти для даного числа вимірів n і заданої імовірності Р коефіцієнт Стьюдента;
8) обчислити довірчий інтервал 
;
9) обчислити відносну похибку вимірів 
;
10) записати результат у вигляді 
при р = 0,95,
.
Числове значення результату виміру повинне закінчуватися цифрою того ж розряду, що і значення .
Якщо дослід проводиться один раз і при повторних вимірах одержуємо той самий результат (це спостерігається при вимірах на менш точних приладах), то випадкові помилки обов'язково є, але вони менші від точності приладу. У цьому випадку діє закон рівномірного розподілу. Довірчий інтервал 
, де у дорівнює половині ціни найменшого розподілу приладу.
Варто цілком усунути промахи, щоб помилка результату визначалася тільки систематичною помилкою вимірів (систематична помилка вимірів дорівнює половині ціни розподілу приладу). Для цього необхідно зробити таке число вимірів, щоб випадкова помилка результату була незначною в порівнянні з систематичною помилкою. Це не завжди можна здійснити. Часто доводиться враховувати те, що систематична і випадкова похибки рівні. Тоді похибки додають. Якщо випадкова і систематична похибки вимірів відрізняються за величиною, то як ступінь погрішності варто вказувати тільки загальну за величиною похибки. Звідси можна сказати про обмеження одним виміром. При цьому абсолютна похибки одного виміру дорівнює половині ціни розподілу приладу.
Побудова графіка
Графік будується за значеннями однієї фізичної величини у (функція), яку вона приймає при різних значеннях іншої величини (аргумент): у=f(x).
Графіками користуються: а) для визначення деякої величини; б) для перебудови проміжних значень функції - графічна інтерполяція; в) для наочності; г) для визначення виправлень до показань вимірювальних приладів.
Звичайно використовують прямокутну систему координат, у деяких випадках – полярну. На горизонтальній осі відкладають аргумент, на вертикальній – функцію. При виборі масштабу графіка треба мати на увазі:
а) експериментальні точки не повинні зливатися одна з одною;
б) масштаб повинен бути простим.
Простіше всього, якщо одиниця обмірюваної величини (чи 10; 100; 0,1...) відповідає 1 см чи 1 см відповідає двом чи п’яти одиницям. Для правильного використання всієї площі креслення необхідно визначити різницю між найбільшим і найменшим значеннями величини, що відкладаються на осі, і на отримане число розділити довжину відповідної координатної осі (довжини осей повинні бути приблизно рівні між собою, порядку 10...12 см). Результат розподілу округляють і приймають за масштаб координатної осі.
Кожній парі взаємозалежних чисел відповідає точка на площині. Для побудови графіка проводять плавну лінію таким чином, щоб число точок, які не уклалися на неї по обидві сторони кожної ділянки, було приблизно однаковим.
Лабораторна робота №1