Пряма та площина. Перша позиційна задача
Задача на перетин прямої з площиною є першою основною позиційною задачею. При розв’язуванні цієї задачі розрізняють три випадки розміщення двох геометричних фігур:
o обидві геометричні фігури є проекціюювальними відносно однієї й тієї самої площини проекцій;
o одна геометрична і фігура є проекціюювальною, а друга загального положення;
o обидві геометричні фігури займають загальне положення.
На рис. 20 а зображено перший випадок, коли площина — трикутний відсік АВС i пряма ι займають горизонтально проекцію вальне положення. Горизонтальна проекція трикутного відсіку ніби збирає на себе проекції всіх фігур, що належать площині відсіку. Iнцидентнiсть горизонтальних проекцій відсіку та прямої дає змогу стверджувати, що в цьому випадку пряма ι належить площині відсіку.
 |
На рис. 20 б, зображено другий випадок, коли площина Σ у вигляді трикутного відсіку знаходиться в горизонтально проекцiювальнному положенні, а пряма ι — у загальному. У цьому випадку точку D – точку перетину прямої з площиною — визначають безпосередньо на полі П1 як точку перетину проекції прямої та площини. Фронтальну проекцію точки D визначають за вертикальною відповідністю. У символічному записі:
Σ1 Çι1= D1; D1D2 Çι2= D2.
З метою підвищення наочності рисунка вважаємо трикутний відсік непрозорим, тоді частина відрізка прямої буде невидимою, адже він „перекривається” на полі П2 точку перетину прямоїι2 зі стороною відсіку В2 С2, за допомогою вертикальної лінії сполучення визначимо точку 11 на прямій ι1 та точку 21 на площині Σ1 . Оскільки точка 1 ближче до спостерігача, ніж точка 2, то пряма в цій точці „перекриває» сторону ВС, тому відрізок прямої до точки перетину з відсіком є видимим, а частина його закривається відсіком.
На рис.20 в зображено третій випадок, коли i площина, i пряма займають загальне положення. Для визначення точки перетину прямої з площиною в цьому випадку доцільно застосувати спосіб допоміжних січних площин. Алгоритм розв’язування задачі складається з трьох операцій:
1) через пряму проводять допоміжну площину;
2) знаходять лiнiю перетину заданої площини з допоміжною;
3) визначають точку перетину двох прямих – заданої та лiнiї перетину.
На рисунку 20 в, через пряму проведено горизонтально проекцiюювальну площину Г (ι1ºГ 1 ), знайдено лінію перетину двох площин— пряму 1- 2 (її горизонтальна проекція 11 21), за горизонтальною проекцією визначають фронтальну проекцію 12 22. У перетині ι2 і ι2 22 знайдемо шукану точку D2 – перетин прямої з площиною, її горизонтальну проекцію визначають за вертикальною вiдповiднiстю. Видимість вiдрiзкiв прямої ι визначено за допомогою конкуруючих точок З i 4.У символічному записі:
ι1 º Г 1; А1 В1 С1ÇГ 1=11 21; 11 12 Ç А2 В2 ; 2122 Ç А2 С2 ;
12 22 Ç ι2 = D2; D2 D2 Ç ι1 = D1;
Для з’ясування взаємного положення прямої i площини загального положення також доцільно скористатися способом допоміжних сiчнiих площин. При визначенні взаємного положення заданої прямої i знайденої лiнiї перетину двох площин можливі три випадки:
Ø дві прямі “перетинаються ” в одній точці, отже, задана пряма перетинається з площиною в цій точці;
Ø дві прямі паралельні, тобто пряма паралельна площині;
Ø дві прямі зливаються, тобто пряма є підмножиною площини.
 |
На рис. 21 а зображено трикутний відсік АВС і пряму загального положення ι. Для визначення їхнього взаємного положення використано фронтально проекцiюювальну площину Σ, проведену через пряму ι, знайдено лiнiю перетину двох площин - пряму 1-2.
З розгляду горизонтальних проекцій прямих ι1 і 1121 видно, що пряма ι перетинає площину АВС у точці D.
На рис. 21 6 побудовано пряму m, паралельну площині відсіку АВС. Для цього також було побудовано пряму 1—2, отриману в результаті перетину трикутного відсіку з фронтально проекціюювальною площиною Г. Горизонтальна проекція прямої m1, має бути паралельною горизонтальній проекції прямої 1—2.
На рис. 22 в показано пряму п, проекції якої збігаються з проекціями прямої 1—2, що належить площині, тобто пряма є підмножиною площини.
Точка і площина
Точка може належати площині або не належати їй. Це визначається за допомогою прямої, iнцидентної площині. Належність точки площині еквівалентна завданню одного параметра, а оскільки в просторі три параметрична множина точок, то для завдання точки на площині треба використати два параметри (наприклад, задати фронтальну чи горизонтальну проекцію точки в площині).
На рис. 22 зображено трикутний відсік АВС і задано точки 1 та 2. Точка 1 належить площині, оскільки вона належить прямій ВD, що є підмножиною площини; точка 2 не належить площині, адже тільки горизонтальна проекція її iнцидентна горизонтальній проекції прямої В1D1 ,а фронтальна проекція не iнцидентна В2D2 .Сформулюємо таку властивість: точка належить площині, якщо обидві її проекції iнцидентнi відповідним проекціям прямої, що належить площині.
Точка і поверхня
Точка може бути iнцидентна кривій поверхні або не iнцидентна їй. Так само як i на площині, точка iнцидентна поверхні, коли вона лежить на лінії (кривій чи прямій), iнцидентнiй поверхні. Для полегшення побудови бажано, щоб криві були інструментальними (наприклад, колами). На поверхнях другого порядку, що не є поверхнями обертання, завжди можна виділити коло чи пряму, за допомогою яких знаходять проекції точок, яких не вистачає.
На рис. 23 а зображено фронтальну проекцію точки А видимій на П2 поверхні півкулі. Щоб знайти її горизонтальну проекцію слід через точку А провести допоміжну горизонтальну січну площину Г, яка перетне півкулю по колу радіуса R. Горизонтальна проекція точки А лежатиме на горизонтальній проекції кола.
На рис. 23б показано прямий конус обертання i точку В, що лежить на його видимій половині. Для визначення горизонтальної проекції точки В через неї проведено твірну SМ. Проекція В1 iнцидентна проекції S1М1.