Метричні властивості проекцій пар геометричних фігур
Під метричними розуміють задачі на визначення відстаней, кутів i площ. У практиці інженерної діяльності метричні задачі „у чистому вигляді ” трапляються рідко, значно частіше розв’язування метричних задач переплітається з розв’язуванням позиційних задач. Різновид метричних задач багато, проте кожна з них складається з двох основних.
1. Перша основна метричну задачу на визначення відстані між двома точками.
2. Друга основна метрична задача полягає у визначенні кута між прямими, які перетинаються, адже кут між геометричними фігурами вимірюється кутом між двома прямими що перетинаються..
Точка і пряма. Дві прямі
Розглянемо такі положення геометричних фігур, при яких відстані та кути проекцiюються в натуральну величину. Почнемо із взаємного розміщення точки i прямої. При загальному положенні прямої відстань від точки до неї зображується в натуральну величину, якщо ця пряма є лінією нахилу площини, яка задається цією точкою i прямою . У цьому разі відрізок , що вимірює відстань від точки до прямої паралельний одній із площин проекцій а отже, зображується на ній без спотворення і визначається трьома параметрами. На рис. 25 ,зображено пряму m та i точку А. Пряма е лінією нахилу відносно площини П1. Відстань від точки до прямої вимірюється відрізком горизонтальної прямої. Сформулюємо властивість: відстань від точки до прямої проекцiюються в натуральну величину, якщо пряма є лінією нахилу площини, заданої точкою та прямою, до однієї. з площин проекцій.
З цієї властивості випливають два наслідки.
1 . Відстань від точки до прямої проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо пряма вертикальна, на фронтальній, якщо пряма фронтально проекцiюювальна. На рис. 26, а зображено вертикальну пряму m i точку А, відстань між якими зобразиться без спотворення на полі П1.
2. Відстань від точки до прямої проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо площина, що задана точкою та прямою, горизонтальна, i на фронтальній проекції, якщо ця площина фронтальна. На рис. 26, б показано пряму n i точку В, які задають фронтальну площину. відстань від точки до прямої зобразиться без спотворення на полі П2.
Тоді на підставі властивості, що стосується відстані між точкою та прямою, сформулюємо властивість, яка характеризує відстань між паралельними прямими: відстань між двома паралельними прямими загального положення зображується в натуральну величину, якщо прямі є лініями нахилу площини, яку вони задають, до однієї з площин проекцій. Справді, якщо на одній із паралельних прямих взяти точку, то цю властивість можна звести до попередньої. На рис. 27 зображено відстань між двома лініями нахилу — m i n, що вимарюється відрізком горизонталь прямої АВ. Із цієї властивості можна вивести два
наслідки.
1. Відстань між паралельними прямими проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо прямі вертикальні, i на фронтальній, якщо вони фронтально проекцiюювальні (рис.28, а).
![]() |
2. Відстань між паралельними прямими зображується в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо задана ними площина горизонтальна, i на фронтальній, якщо площина фронтальна (рис. 28,б).
Дві перетині або мимо6iжнi прямі утворюють між собою кут. Сформулюємо властивість, щодо проекціюювання цього кута в натуральну величину: кут між мимобіжними чи перетинними прямими проекціюється в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо прямі горизонтальні (рис. 29, а), i на фронтальній, якщо вони фронтальні (рис. 29,б).Та якщо пряма т фронтально проекціююча(рис. 30 а) або горизонтально проекціююча(рис. 30 б), то проведемо з т2 та т1, під прямим кутом червону лінію та отримаємо дійсну величину відстані між прямими.
![]() |
Розглянемо тепер взаємну перпендикулярність двох прямих. На рис. 31 а зображено дві взаємно перпендикулярні площини — горизонтальна П1 i вертикальна П4 Крім того, задано горизонтальну пряму m, що належить П4 i вертикальну площину П5 , перпендикулярну до прямоїm у точці А, а отже, i до площини П4. Через точку А проходить пряма n, що належить площині П5 i утворює, як відомо, з лінією m прямий кут. Цей кут проекцiюються без спотворення на горизонтальну площину проекцій П1, оскільки його сторони лежать на гранях горизонтально проекцiюювального прямого двогранного кута, утвореного площинами П4 i П5
Неважко помітити таке: якщо в площині П5 взяти у пряму k (яка завжди перпендикулярна до m), мимобіжну з прямою m, то цей кут мимобiжностi також спроекцiюється без спотворення на горизонтальну площину проекцій. На підставі наведених міркувань можна сформулювати таку властивість: прямий кут перетину чи мимобiжностi проекцiюються в натуральну величину на горизонтальній проекції, якщо хоча б одна його сторона горизонтальна, i на фронтальній, якщо хоча б одна його сторона фронтальна.
![]() |
На рис. 32 а показано прямий кут перетину, одна сторона якого горизонтальна, а на рис. 32, б — прямий кут мимобiжностi, одна сторона якого фронтальна. Ці кути зображуються в натуральну величину в першому випадку на полі П1 , а в другому П2. Якщо для завдання прямого кута перетину потрібно чотири параметри, то для прямого кута мимобiжностi досить трьох.