Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными.
Определение. Два комплексных числа 
и 
называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
 |
у
A(a, b)
r b
j
0 a x
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма числа.
Из геометрических соображений видно, что 
. Тогда комплексное число можно представить в виде:
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
При этом величина r называется модулемкомплексного числа, а угол наклона j -аргументомкомплексного числа.
.
Из геометрических соображений видно:
Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.
Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В тригонометрической форме:
, 
С случае комплексно – сопряженных чисел:
3) Деление.
В тригонометрической форме:
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
,
где n – целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.
Рассмотрим некоторое комплексное число 
Тогда с одной стороны 
.
По формуле Муавра: 
Приравнивая, получим 
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим:
Отсюда: 
Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию 
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется уравнением Эйлера.Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1) 
2) 
3) 
где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
и воспользуемся формулой Эйлера: 
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
Разложение многочлена на множители.
Определение. Функция вида f(x) 
называется целой рациональной функцией от х.
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).
Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степенина единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.
Переходя к пределу при х ® a, получаем f(a) = R.
Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при xn.
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:
ki - кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.
Пример. Даны два комплексных числа 
. Требуется а) найти значение выражения 
в алгебраической форме, б) для числа 
найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения 
a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:
Далее производим деление двух комплексных чисел:
Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16.
б) Число представим в виде , где
Тогда 
.
Для нахождения 
воспльзуемся формулой Муавра.
Если 
, то 
Элементы высшей алгебры.
Основные понятия теории множеств.
Определение. Множеством Мназывается объединение в единое целое определенных различимых объектов а, которые называются элементамимножества.
а Î М
Множество можно описать, указав какое – нибудь свойство, присущее всем элементам этого множества.
Множество, не содержащее элементов, называется пустыми обзначается Æ.
Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.
А
В
А Ì В
Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножествоммножества В, а если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.
Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения.
Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:
Здесь знак Ù обозначает конъюнкцию(логическое “и”).
Операции над множествами.
Определение. Объединениеммножеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одномк из множеств А и В.
Обозначается С = А È В.
А
В
Геометрическое изображение множеств в виде области на плоскости называется диаграммой Эйлера – Венна.
Определение. Пересечениеммножеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат каждому из множеств А и В.
Обозначение С = А Ç В.
А С В
Для множеств А, В и С справедливы следующие свойства:
А Ç А = А È А = А; A È B = B È A; A Ç B = B Ç A;
(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C); (A È B) È C = A È (B È C);
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C); A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C);
A È (A Ç B) = A; A Ç (A È B) = A;
Æ = А; A Ç Æ = Æ;
Определение. Разностьюмножеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Обозначается С = А \ В.
А В
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В.
Обозначается А D В.
А D В = (A \ B) È (B \ A)
A B
Определение. СЕ называется дополнениеммножества А относительно множества Е, если А Í Е и CЕ = Е \ A.
A E
Для множеств А, В и С справедливы следующие соотношения:
A \ B Í A; A \ A = Æ; A \ (A \ B) = A Ç B;
A D B = B D A; A D B = (A È B) \ (A Ç B);
A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C); A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C);
(A È B) \ C = (A \ C) È (B \ C); (A Ç B) \ C = (A \ C) Ç (B \ C);
A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C); (A \ B) \ C = A \ (B È C);
(A D B) D C = A D (B D C); A Ç (B D C) = (A Ç B) D (A Ç C);
A È CEA = E; A Ç CEA = Æ; CEE = Æ; CEÆ = E; CECEA = A;
CE(A È B) = CEA Ç CEB; CE(A Ç B) = CEA È CEB;
Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество и проверить его с помощью диаграммы Эйлера - Вейна.
Из записанных выше соотношений видно, что
Æ 
= A \ В
Что и требовалось доказать.
Для иллюстрации полученного результата построим диаграммы Эйлера – Вейна
А В А В
AÇB
Пример. Исходя из определения равенства множеств и операций над множествами, доказать тождество.
A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C)
Если некоторый элемент х Î А \ (В È С), то это означает, что этот элемент принадлежит множеству А, но не принадлежит множествам В и С.
Множество А \ В представляет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству В.
Множество А \ С предсталяет собой множество элементов множества А, не принадлежащих множеству С.
Множество (A \ B) Ç (A \ C) представляет собой множество элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат ни множеству В, ни множеству С.
Таким образом, тождество можно считать доказанным.
Отношения и функции.
Определение. Упорядоченной парой (a, b) двух элементов a и b называется множество {{a},{a, b}}.
Для любых элементов a, b, c, d справедливо соотношение:
Определение. Декартовым произведениеммножеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где аÎА, bÎB.
Декартово произведение п равных множеств А будет называться п – й декартовой степенью множества А и обозначаться Аn.
Определение. n – мерным отношениемR на непустом множестве А называется подмножество Аn. Если R – n – мерное отношение на множестве А и (а1,а2,…аn)ÎR, то говорят, что отношение R выполняется для элементов а1,а2,…аn и записывают R а1а2…аn. Если n = 2, то такое отношение называется бинарным.
Для бинарного отношения вместо общей записи Ra1a2 применяют запись а1Ra2.
Свойства бинарных отношений.
Определение. Произведением двух бинарных отношений R и S, заданных на множестве А, называется множество
Знак | называется штрих Шеффера и обозначает антиконъюнкцию.
Определение. Обратным (инверсным) отношением к отношению R, заданному на множестве А, называется отношение R-1, определяемое равенством:
Если R, S и T – бинарные отношения на множестве А, то выполняются следующие равентсва:
Алгебраические структуры.
Определение. На множестве А определена алгебраическая операция,если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.
Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.
Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.
Определение. Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:
1) для любых трех элементов a, b, c Î A выполняется свойство ассоциативности:
2) в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенcтво:
3) для любого элемента а множества существует элемент а’ из этого же множества такой, что
Различные множества могут являться группой относительно какой- либо операции и не являться группой относительно другой операции.
Число элементов называется порядком группы.
Определение. Между элементами множеств M и N установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества М поставлен в соответствие определенный элемент множества N, причем различным элементам одного множества соответсвуют различные элементы другого множества.
Определение. Две группы M и N называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответсвие, при котором для любых двух элементов a, bÎ M и соответствующим им элементам a’, b’Î N элементу
с = ab будет соответствует элемент c’ = a’b’.
При этом отображение группы М на группу N называется гомоморфизмом.
Определение. Если операция, определенная в группе коммутативна, (т.е. для любых элементов a и b группы верно соотношение ab=ba), то такая группа называется коммутативнойили абелевой группой.
Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна, т.е. для любых элементов a, b и с Î R справедливы равенства:
Если операция умножения, определенная в кольце коммутативна, то такое кольцо называется коммутативнымкольцом.
Определение. Полем называется коммутативное кольцо, в котором для любого ненулевого элемента a¹ 0 и любого элемента b существует единственный элемент х такой, что ax = b.
Дискретная математика.
Элементы комбинаторики.
Если из некоторого количества элементов, различных меду собой, составлять различные комбинации, то среди них можно выделить три типа комбинаций, носящих общее название – соединения.
Рассмотрим подробнее эти три типа соединений:
1) Перестановки.
Определение. Если в некотором множестве 
переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.
Общее число перестановок из m элементов обозначается Pm и вычисляется по формуле:
2) Размещения.
Определение. Если составлять из т различных элементов группы по n элементов в каждой, располагая взятые элементы в различном порядке. Получившиеся при этом комбинации называются размещениями из т элементов по п.
Общее число таких размещений расчитывается по формуле:
Вообще говоря, перестановки являются частным случаем размещений.
3) Сочетания.
Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.
Общее число сочетаний находится по формуле:
Также одним из вариантов комбинаций являются перестановки с повторяющимися элементами.
Если среди т элементов имеется т1 одинаковых элементов одного типа, т2 одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:
Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.
Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000.
Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно 
.
Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.
Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.
Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.
Бином Ньютона. (полиномиальная формула)
В дальнейшем будет получена формула бинома Ньютона с помощью приемов дифференциального исчисления.
Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)n в виде многочлена. Эта формула имеет вид:
- число сочетаний из п элементов по k.
Широко известные формулы сокращенного умножения квадрата суммы и разности, куба суммы и разности, являются частными случаями бинома Ньютона.
Когда степень бинома невысока, коэффициенты многочлена могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).
Этот треугольник имеет вид:
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
…………………
Формула бинома Ньютона может быть обобщена для произвольного числа слагаемых.
Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.
Пример. В разложении 
найти члены, содержащие хa, если k=3, p=2, n=8, a=9.
По фомуле бинома Ньютона имеем: 
C учетом числовых значений:
В принципе, можно написать разложение этого выражения в многочлен, определить коэффициеты либо непосредственно, либо из треугольника Паскаля (степень бинома сравнительно невелика), однако, делать это не обязательно, т.к. необходимо найти только член разложения, содержащий х9.
Найдем число i, соответствующее этому члену: 
Находим: 
Пример. В разложении 
найти члены, содержащие xg. т=9, g=6.
По обобщенной формуле бинома Ньютона получаем:
Для нахождения полного разложения необходимо определить все возможные значения ni, однако, это связано с громадными вычислениями. Однако, т.к. надо найти только члены, содержащие х6, то n1 = 6, а сумма всех четырех значений п равна 9. Значит, сумма п2 + п3 + п4 = 3.
Рассмотрим возможные значения этих величин:
| n2 | ||||||||||
| n3 | ||||||||||
| n4 |
Искомые члены разложения:
Элементы математической логики.
Математическая логика – разновидность формаьной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.
Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.
В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.
Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.
Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.
Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями
1) Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.
Обозначается 
Р или 
.
Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:
| P | Р
|
| И | Л |
| Л | И |
2) Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Обозначается P&Q или РÙQ.
| P | Q | P&Q |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Обозначается PÚQ.
| P | Q | PÚQ |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
4) Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.
Обозначается PÉQ (или РÞQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.
| P | Q | PÞQ |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
5) Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.
Обозначается Р~Q или РÛQ.
| P | Q | P~Q |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | И |
С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.
Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.
Составим таблицы истинности для каждой формулы:
| p | r | 
| (pÙr) | 
|
| И | И | Л | И | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | И | Л | Л |
| p | r |
| 
| 
| 
|
| И | И | Л | Л | Л | И |
| И | Л | Л | И | И | И |
| Л | И | И | Л | И | И |
| Л | Л | И | И | И | И |
Данные формулы не являются эквивалентными.
Пример. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы j и y.
Составим таблицы истинности для заданных формул.
| p | q | r | pÛq | (pÛq)Úr |
| И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И |
| И | Л | И | Л | И |
| И | Л | Л | Л | Л |
| Л | И | И | Л | И |
| Л | И | Л | Л | Л |
| Л | Л | И | И | И |
| Л | Л | Л | И | И |
| p | q | r | pÞq | qÞp | (pÞq)Ú(qÞp) | (pÞq)Ú(qÞp)Úr |
| И | И | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И | И | И |
| И | Л | И | Л | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | И | И | И |
| Л | И | И | И | Л | И | И |
| Л | И | Л | И | Л | И | И |
| Л | Л | И | И | И | И | И |
| Л | Л | Л | И | И | И | И |
Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.
Основные равносильности.
Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:
A & B º B & A; A & A º A; A & (B & C) º (A & B) & C;
A Ú B º B Ú A; A Ú A º A; A Ú (B Ú C) º (A Ú B) Ú C;
A Ú (B & C) º (A Ú B) & (A Ú C); A & (B Ú C) º (A & B) Ú (A & C);
A & (A Ú B) º A; A Ú (A & B) º A; ØØA º A; Ø(A & B) º ØA Ú ØB;
A º (A & B) Ú (A & ØB); A º (A Ú B) & (A Ú ØB);
Булевы функции.
Определение. Булевой функциейf(X1, X2, …, Xn) называется называется произвольная n – местная функция, аргументы и значения которой принадлежат множеству {0, 1}.
Вообще говоря между логическими высказываниями, логическими связками и булевыми функциями просматривается явная аналогия. Если логические функции могут принимать значения истинно или ложно, то для булевой функции аналогами этих значений будут значения 0 или 1.
Для булевых функций также можно составить таблицы значений, соответствующим основным логическим операциям.
| X1 | X2 | ØX1 | X1&X2 | X1ÚX2 | X1ÞX2 | X1ÛX2 |
Исчисление предикатов.
Определение. ПредикатомP(x1, x2, …, xn) называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М, а сама функция принимает два значения: И (истина) и Л (ложь), т.е.
Предикат от п аргументов называется п – местным предикатом. Высказывания считаются нуль – местными предикатами.
Над предикатами можно производить обычные логические операции, в результате которых получаются новые предикаты.
Кроме обычных логических операций к предикатам применяются также специальные операции, называемые кванторами.
Кванторы бывают двух видов:
1) Квантор общности. Обозначается ("х)Р(х). Квантором общности называется высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное – в противном случае.
2) Квантор существования. Обозначается ($х)Р(х). Квантором существования называется высказывание, истинное, когда существует элемент из множества М, для которого Р(х) истинно, и ложное в противном случае.
Операцию связывания квантором можно применять и к предикатам от большего числа переменных.
Для формул логики предикатов сохраняется справедливость всех правил равносильных преобразований логики высказываний. Кроме того, справедливы следующие свойства:
1) Перенос квантора через отрицание.
Ø("x)A(x) º ($x)ØA(x); Ø($x)A(x) º ("x)ØA(x);
2) Вынесение квантора за скобки.
($х)(А(х) & B) º ($x)A(x) & B; ("x)(A(x) & B) º ("x)A(x) & B;
($х)(А(х) Ú B) º ($x)A(x) Ú B; ("x)(A(x) Ú B) º ("x)A(x) Ú B;
3) Перестановка одноименных кванторов.
("y)("x)A(x,y) º ("x)("y)A(x,y); ($y)($x)A(x,y) º ($x)($y)A(x,y);
4) Переименование связанных переменных. Если заменить связанную переменную формулы А другой переменной, не входящей в эту формулу, в кванторе и всюду в области действия квантора получаем формулу, равносильную А.
Исчисление предикатов базируется на приведенных выше свойствах и правилах, называемых аксиомами.
Какими бы ни были формулы А и В для них справедливы следующие аксиомы:
1) A Þ (B Þ A);
2) (A Þ (B Þ C)) Þ ((A Þ B) Þ (A Þ C));
3) (ØB Þ ØA) Þ ((ØB Þ A) Þ B);
4) ("xi)A(xi) Þ A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.
5) A(xi) Þ ($xj)A(xj), где формула А(хi) не содержит переменной xi.
Конечные графы и сети.
Основные определения.
Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.
При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.
В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар
(v, w) в Х называется кратностьюребра (v, w).
Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.
G = (V, X)
Псевдограф без петель называется мультиграфом.
Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.
Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.
Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины.
Определение. Если х = {v, w} – ребро графа, то вершины v, w называются концами ребра х.
Если х = (v, w) – дуга орграфа, то вершина v – начало, а вершина w – конец дуги х.
Определение. Вершины v, w графа G = (V, X) называются смежными, если {v,w}ÎX. Два ребра называются смежными, если они имеют общюю вершину.
Определение. Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется изолированной, если если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю.
Определение.Графы G1(V1, X1) и G2(V2, X2) называются изоморфмными, если существует взаимно однозначное отображение j: V1 ® V2, сохраняющее смежность.
Определение. Маршрутом (путем) для графа G(V, X) называется последовательность v1x1v2x2v3…xkvk+1. Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиноймаршрута (пути).
Определение. Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.
Определение. Замкнутый маршрут (путь) называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.
Матрицы графов.
Пусть D = (V, X) – орграф, где V = {v1, …, vn}, X = {x1, … , xm}.
Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [aij] порядка п, у которой
Определение. Если вершина v является крнцом ребра х, то говорят, что v и х –инциндентны.
Определение. Матрицей инциндентности оргафа D называется матрица размерности п´т B(D) = [bij], у которой
Пример. Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.
x1
v1 x4 v2
x2
x3
v3
Составим матрицу смежности:
| v1 | v2 | v3 | |
| v1 | |||
| v2 | |||
| v3 |
Т.е. 
- матрица смежности.
Матрица инциндентности:
| x1 | x2 | x3 | x4 | |
| v1 | -1 | |||
| v2 | -1 | -1 | ||
| v3 | -1 |
Т.е. 
Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается aij=k, где k – кратность дуги (ребра).
С помощью матриц смежности и инциндентности всегда можно полностью определеить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ.
Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G. Нарисованть также орграф 
, имеющий матрицу смежности Q, определить его матрицу инциндентности С.
x4
x3
v2
x2 x5
x6
x1 v1 v3 x7 x8
x10
x11 x9
v4
Составим матрицу инциндентности:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | x11 | |
| v1 | |||||||||||
| v2 | |||||||||||
| v3 | |||||||||||
| v4 |
Итого: 
Построим теперь ориентированный граф с заданной матрицей смежности.
x4
x5
 |
v2
x2 x7
х3 x6
x1 v1 х8 v3 x10 x11
х9
х17 х15 x14
x16 х13 x12
v