Максимальна кратність входження поліномів у розкладання становить .

Розкладання можна записати більш точно

При цьому - добуток ненульових поліномів нульового степеня.

Етап 2.

Виділяємо із знайдених спільних дільників добуток складових в першому степені.

1. Ділимо поліном на перший НСД.

на .

-6 -4 -3 -5 -2
-3 -5 -2     -1 -2    
-1 -3    
  -1 -1          
  -2 -2          
    -2 -2          
             

2. Ділимо на .

-3 -5 -2
    -1 -2
-1 -4 -5 -2
  -1 -2 -1      
  -2 -4 -2      
    -2 -4 -2      
         

3.

4.

Незвідний поліном входить до розкладання поліному у 4-му степені.

Етап 3.

Діленням знаходимо складові в розкладанні полінома на кратні множники.

1. ; 2.

3.

Розкладання на кратні множники відбулося.

Поліном розклали і на кратні, і на незвідні множники, оскільки біноми, на які відбулося розкладання, є незвідними поліномами.

Коренями даного поліному будуть числа

ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 3.

Розкласти на незвідні множники поліном на множині , попередньо відокремивши кратні множники. Записати усі корені поліному. Коефіцієнти , , , , наведені у таблиці

Варіант
-5 -6
-5 -2
-9 -5
-3 -6
-4 -4 -8
-2 -14 -15 -5
-10 -8 -18
-10 -15 -6
-1 -14 -32
-3 -9 -36
-4 -24 -16
-2 -6
-3 -1 -4
-5 -35
-6 -27 -54
-10 -80 -64
-2 -9 -40
-9 -51 -12
-6 -12 -8
-9 -46 -9
-3 -9
-8 -38 -8
-10 -68 -18
-11 -92 -32
-1 -11 -36
-1 -10
-8 -34 -6
-3 -6
-10 -64 -16
-3 -8

Побудова полінома найменшого степеня за відомими коренями.

Оберненою для сімейства задач про існування та визначення коренів поліномів є задача побудови поліному за відомими коренями.

Доведено, що поліноми -го степеня, визначені на множені комплексних чисел мають точно коренів. Причому кількість дійсних коренів буде або співпадати із загальною кількістю коренів або будеменшимзанапарне число.

Виходячи з такого факту можна зробити висновок, що дійсних коренів належать до поліному мінімального степеня .

Спосіб побудови коефіцієнтів такого полінома дає теорема Вієта.

Для коренів алгебраїчного рівняння -го степеня

Справедливі співвідношення:

…………………………….

Наведені формули називаються формулами Вієта.

Якщо поліном заданий на множині , то крім дійсних коренів поліном може мати парну кількість комплексних коренів і тому загальний степінь полінома буде більшим за .

Отже, якщо задати дійсних коренів поліному, можна за формулами Вієта побудувати зведений ( ) поліном -го степеня

Умноживши зведений поліном на довільну сталу отримаємо сукупність асоційованих поліномів найменшого степеня, тобто поліномів, які можна отримати один з одного множенням на сталу (поліном нульового степеня).

Приклад

Відомо, що числа 1, 2, -1, 4, 3 є коренями полінома. Побудувати поліном найменшого степеня, який має такі корені. Побудувати усі асоційовані до нього поліноми.

Розв’язання.

Розглянемо формули Вієта для п’яти коренів. Маємо

Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 2: . Вимога виконана.

Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 3: . Вимога виконана.

Кількість доданків повинна дорівнювати кількості сполук з 5 по 4: . Вимога виконана.

У виведені формули підставимо корені. Отримаємо коефіцієнти зведеного поліному:

Запишемо зведений поліном:

Перевіримо, чи правильно знайдені коефіцієнти:

корінь полінома;

корінь полінома;

Корені -1, 4,3 пропонується студентам перевірити самостійно.

Зведений поліном найменшого степеня побудований правильно. Усі асоційовані поліноми можна записати так:


ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 4.

Використовуючи формули Вієта побудувати зведений поліном найменшого степеня у множині за заданими коренями. Перед розв’язанням записати загальні формули для такого поліному. Побудувати усі поліноми, асоційовані із отриманим зведеним.

Номер варіанту
-
- -3
-
- -2
-1 -1
-2 -1
-
-1 -1
-1 -1 -1
- -2 -2 -2
-2 -2
-1 -4
- -1 -2 -1
-3 -3
- -1 -1 -1
-1 -1
-1 -1 -1
-1 -1 -3
- -1 -1
-1 -1 -1

 


* Докладніше дивись отримання кореня n-го степеня з довільного комплексного числа за допомогою значень кореня кубічного з 1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры/ М: Наука, 1968, гл.4, §19, стор. 128