ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Основные типы задач этого параграфа:
· проверка выполнения аксиом скалярного произведения и доказательство его различных свойств (№№1351-1354, 1384);
· ортогонализация данной системы векторов, построение ортогональных и ортонормированных базисов (№№1355-1363);
· построение ортогональных дополнений данных подпространств (№№1364-1368);
· нахождение ортогональных проекций и перпендикуляров на подпространство (№№1369-1372);
· вычисление длин, расстояний, углов (№№1373-1406).
Процесс ортогонализации Шмидта.
Обычно метод ортогонализации Шмидта рассматривают и обосновывают в лекциях. Тем не менее, подчеркнем, что данная система векторов 
и ортогональная, т.е. полученная из данной методом Шмидта 
, являются эквивалентными системами - их линейные оболочки совпадают. Поэтому ортогонализация системы векторов, порождающей подпространство 
, приводит к построению ортогонального базиса . Обратим внимание на некоторые частные случаи, встречающиеся в задачах:
1. если подлежащая ортогонализации система распадается на две взаимно ортогональные подсистемы 
и 
, то для решения задачи достаточно ортогонализировать каждую из этих подсистем независимо от другой;
2. если выяснилось, что подсистема уже ортогональна, то ортогонализацию начинаем с вектора 
, полагая
и дальше по стандартной схеме;
3. если в процессе ортогонализации, полученная система векторов содержит нулевой вектор, то можно сразу сказать, что исходная система является линейно зависимой.
Задача 2.1. Применить процесс ортогонализации к следующей системе векторов из 
: 
, 
.
Решение.Можно сразу заметить, что система распадается на две взаимно ортогональные подсистемы 
и 
. Поэтому ортогонализируем каждую из подсистем независимо друг от друга.
, 
,
, 
.
, 
.
,
.
Ортогональные дополнения.
Задачи этого раздела не вызовут трудностей, если разобраться в свойствах решений линейной однородной системы как векторов евклидова (унитарного) пространства.
Рассмотрим пространство 
и систему линейных однородных уравнений над 
:
(4)
Обозначив 
и 
, перепишем систему (4) в виде
(5)
Пусть 
. Тогда уравнения (5) означают, что 
и, следовательно, 
, а каждый вектор из 
является решением системы (4). Итак, множество решений системы (4) и линейная оболочка ее строк коэффициентов являются ортогональными дополнениями друг для друга в пространстве . (Какие изменения надо внести в рассуждения в случае пространства 
?)
Задача 2.2. Найти базис ортогонального дополнения подпространства , натянутого на векторы:
.
Найти уравнения, задающие подпространство .
Решение.Так как 
, то состоит из множества решений системы уравнений
Находим фундаментальную систему ее решений (ранг системы 2)
.
Следовательно, 
, а система уравнений со строками коэффициентов 
и 
задает подпространство , как множество решений этой системы (убедитесь: системы векторов 
и , взаимно ортогональны, а объединение их базисов есть базис ).
Аналогичные соображения используются при дополнении ортогональной системы до ортогонального базиса.