Образ, ядро линейного оператора.
Образомлинейного оператора называется множество всех векторов вида
. Если
, то образ
есть подмножество из
. Его обозначают
или
.
Если - линейный оператор, то
, где
- какой-либо базис пространства
.
Ядро линейного оператора - это множество тех
, для которых
. Ядро линейного оператора (обозначается
) – подпространство пространства
. Полезно уметь находить ядра и образы линейных операторов, их размерности (дефект и ранг).
Задача 3.2.Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора (оператор двойного векторного умножения).
Решение.Будем считать, что мы уже убедились в линейности оператора .
Вычисление образа. Возьмем стандартный базис пространства :
. Находим
(подпространство одномерное).
.
Вычисление ядра.Пусть
. Это означает, что
или
Отсюда где
. Другими словами
, а дефект
.
(В нашем примере , но это не общее правило). Можно было воспользоваться формулой для двойного векторного произведения. Но решение вряд ли упростилось бы от этого.
Как правило, нахождение ядра в конце концов сводится к решению системы линейных однородных уравнений относительно координат произвольного вектора ядра. В рассмотренном нами примере эта система оказалась очень простой
что позволило нам сразу записать общее решение .
Матрица линейного оператора в данных базисах.
Обязательно нужно научиться строить матрицу линейного оператора в данных базисах. Но кроме этого, еще раз обратим наше внимание на следующую теорему: каждый линейный оператор из в
однозначно определяется своими значениями на каком-либо базисе пространства
. Эта теорема позволяет строить примеры различных операторов, удовлетворяющих наперед заданным свойствам.
Задача 3.3.Для каждого из нижеперечисленных условий постройте пример линейного оператора :
-
.
-
.
-
.
-
, где
.
- На
действует как тождественный, но
.
- Каждое
переводит в себя, но
.
Решение.1. Возьмем какой-либо базис в , например, стандартный
.
Так как , то из условия
следует
. Для определенности возьмем
. Определим
на базисе так:
Этими условиями линейный оператор полностью определен.
Если то по нашему определению
Легко убеждаемся, что .
Действительно,
- это множество тех
, для которых
, то есть
.
6. Так как необходимо построить такой линейный оператор , который каждое
переводит в себя, но
, то будем считать, что система
является линейно независимой, а значит, является базисом
. Определим
на базисе так:
Можно проверить, что таким образом введенный операторм является линейным и удовлетворяет всем необходимым условиям.