ОПЕРАТОРЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
Пусть и
- два произвольных линейных пространства. Как известно, оператором, действующим из
в
называется отображение пространства
в пространство
. Если отображение обозначить символом
, то это записывают так:
.
Образ вектора обозначают
или
и называют значением оператора
на векторе
. По определению
.
Оператор называют линейным оператором, если
и
- пространства над одним и тем же полем
и при этом
1.
(аддитивность оператора);
2.
(однородность оператора).
Понятие линейного оператора является одним из важнейших в математике. Это подтверждается хотя бы тем, что основные операторы, изучаемые в математическом анализе и алгебре (предельный переход, дифференцирование, интегрирование, проектирование на подпространство, умножение на матрицу и др.) являются линейными.
Оператор называют также преобразованием пространства
.
Основные типы задач по этой теме:
a) проверка линейности заданного оператора;
b) нахождение образа, ядра, ранга и дефекта линейного оператора;
c) построение матрицы линейного оператора в данных базисах (в данном базисе);
d) нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (№№1465-1484);
e) построение канонического базиса и жордановой нормальной формы линейного оператора (№№1529-1536).
Основная трудность задач первой группы состоит в том, что примеры операторов могут быть взяты из различных разделов математики и требуют от студента эрудиции и определенной математической культуры. Приведем несколько примеров.
Задача 3.1. Проверьте линейность следующих операторов:
1.
.
2. (
-пространство многочленов степени
над некоторым полем).
.
3.
.
4.
.
5.
.
6. . Определим оператор
так: если
и
, то
(оператор проектирования на
параллельно
).
7. (
- фиксированный вектор).
Решение.
1. является отображением. Проверим аддитивность и однородность.
.
.
Все условия выполнены, значит, является линейным оператором.
5. .
,
.
.
. Теперь проверяем аддитивность и однородность. Напомним: если
, то
и
.
Находим
.
Точно так же
.
Все условия определения линейного оператора выполнены.
- линейный оператор.
Линейный оператор нулевой вектор отображает в нулевой ( ). Поэтому, если
, то
нелинейный. Рекомендуем в подозрительных случаях прежде, чем начинать проверку аддитивности и однородности, вычислить значение оператора на нулевом векторе. Так в упражнении 2
- нелинейный. В упражнении 3
- нелинейный.
Для доказательства нелинейности достаточно привести пример двух векторов, для которых нарушена аддитивность, или пример вектора или скаляра, для которых не выполнена однородность (равенство может иметь место и для нелинейных операторов). Например: в упражнении 7 настораживает то, что текущий вектор
находится под знаком
. Поэтому проверку ведем на конкретных векторах.
Очевидное неравенство доказывает неаддитивность
и его нелинейность.
В этом же примере можно поступить и так:
Поэтому оператор неоднороден, следовательно, и нелинеен.
Проверку линейности операторов из упражнений 4 и 6 предоставляем читателю.
Чтобы глубже понять определение линейного оператора, придумайте примеры:
1. оператора аддитивного, но не однородного;
2. оператора однородного, но не аддитивного.