Правила дедуктивных выводов в логике высказываний

С помощью правил вывода устанавливается зависимость логической структуры заключения от логической структуры посылок. В простейшем случае правило вывода можно записать в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной чертой; причем над чертой в столбец будем выписывать логические схемы посылок, а под ней – заключения.

Схема правила вывода, в котором посылки имеют вид A1 ,A2 ,A3 , ... , An, а заключение – B, т.е.:

A1

A2

A3

...

An

-----------------

B

читается: «Из посылок вида A1, A2, A3 , ... , An можно (разрешено) выводить заключение B».

Правила дедуктивных выводов логики высказываний подразделяются на основные и производные. Основные правила являются более простыми. Их перечень можно составить так, чтобы, во-первых, они были содержательно очевидными (для этой цели можно воспользоваться определениями логических союзов), во-вторых, образованная из них система определяла бы все возможные правила выводов логики высказываний, т.е. чтобы система удовлетворяла требованию полноты. В рамках современной логики доказано, что для логики высказываний такая система правил существует.

Производные правила выводятся из основных правил. В сущности их можно признать излишними, так как можно обойтись и без них. Но их введение в систему зачастую сокращает процесс вывода. Производные правила, таким образом, играют вспомогательную роль.

Как основные, так и производные правила, в свою очередь, делятся на прямые и непрямые (косвенные). Прямыеправила вывода указывают на выводимость некоторых высказываний из других высказываний (заключений из посылок). Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключать о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов. Сначала рассмотрим основные прямые правила.

Прямые правила вывода

Правило введения конъюнкции (сокращенно ВК):

A

B

------------

A Ù B

Это простое правило устанавливает, что два принятых за истинные высказывания можно соединить знаком конъюнкции, и полученное сложное высказывание также разрешается принять. Например:

Подул ветер.

Пошел дождь.

----------------------------------------

Подул ветер, и пошел дождь.

Правило удаления конъюнкции (УК):

A Ù B ---------- A Ù B -----------
A B

Правило УК устанавливает, что из конъюнкции принятых высказываний можно вывести любое высказывание, являющееся ее членом.

Примеры выводов по правилу УК:

Каждый студент сдает экзамены и зачеты.

-----------------------------------------------------------

Каждый студент сдает экзамены.

 

Каждый студент сдает экзамены и зачеты.

------------------------------------------------------------

Каждый студент сдает зачеты.

 

Нетрудно видеть, что правила ВК и УК согласуются с определением конъюнкции, данном на стр. (?)

Правило введения слабой дизъюнкции (ВД):

А В

---------- ---------

A Ú B A Ú B

Правилом ВД устанавливается, что из принятого за истинное высказывания со структурой A (соответственно B) можно выводить дизъюнктивное высказывание вида A Ú B.

Пример вывода по правилу ВД:

Иванов читает газету.

-------------------------------------------------------------------------

Иванов читает газету или размышляет о текущих событиях.

Правило удаления слабой дизъюнкции (УД):

A Ú B   A Ú B
ØA   ØB
B   A

С помощью правила УД устанавливается, что из принятого дизъюнктивного высказывания со структурой AÚB и отрицания одного из его членов можно выводить второй его член.

Пример вывода по правилу УД:

Ошибся защитник или вратарь.

Вратарь не ошибся.

---------------------------------------------

Ошибся защитник.

В традиционной логике умозаключения, соответствующие правилу УД, называются разделительно-категорическими силлогизмами.

В разделительно-категорическом силлогизме одна из посылок – разделительное высказывание (слабая дизъюнкция), другая – категорическое, т.е. принимаемое без всяких условий и альтернатив. Последнее, в соответствии с правилом УД, отрицает одну из альтернатив, фиксируемых первой посылкой. Число этих альтернатив может быть больше двух.

Правила ВД и УД согласуются с определением слабой дизъюнкции.

Правило удаления импликации (УИ):

A ® B

А

--------------

В

Правило УИ разрешает при наличии принятой импликации вида A®B и ее антецедента A выводить консеквент B.

Пример вывода по УИ:

Если стоит туманная погода, то аэропорт закрывается.

Стоит туманная погода.

-------------------------------------------------------------------------

Аэропорт закрывается.

 

В традиционной логике умозаключения по правилу УИ называются условно-категорическими силлогизмами утверждающего модуса (латинское название – modus ponens). В них выводится следствие условного высказывания при условии истинности его основания.

Правило введения эквиваленции (ВЭ):

A ® B

B ® A

---------------

A « B

Правило ВЭ разрешает из принятого за истинное импликативного высказывания со структурой A®B и обратного по отношению к нему высказывания B®A можно выводить и принимать за истинное высказывание эквивалентности A«B.

Пример вывода по ВЭ:

Если монета выпадает орлом, то она не выпадает решкой и не становится на ребро.

Если монета не выпадает решкой и не становится на ребро, то она выпадает орлом.

-------------------------------------------------------------------------

Монета выпадает орлом тогда и только тогда, когда она не выпадает решкой и не становится на ребро.

Правило удаления эквиваленции (УЭ):

A « B A « B

------------- ------------

A ® B B ® A

Правило УЭ устанавливает, что из принятого за истинное высказывания эквивалентности вида A«B можно выводить и принимать за истинное как импликативное высказывание вида A®B, так и обратное ему импликативное высказывание B®A.

Примеры построения выводов по правилу УЭ:

Высказывание p Ù q истинно тогда и только тогда, когда p истинно и q истинно.

-------------------------------------------------------------------------

Если высказывание p Ù q истинно, то p истинно и q истинно.

Высказывание p Ù q истинно тогда и только тогда, когда p истинно и q истинно.

-------------------------------------------------------------------------

Если p истинно и q истинно, то высказывание p Ù q истинно.

Правило введения двойного отрицания (ВДО):

A

-----------

ØØA

Правило ВДО устанавливает, что из высказывания вида A можно выводить это же дважды отрицаемое высказывание.

Пример применения правила ВДО:

Этот студент учится на экономическом факультете.

-------------------------------------------------------------------------

Неверно, что этот студент не учится на экономическом факультете.

Правило удаления двойного отрицания (УДО):

Согласно правилу УДО из дважды отрицаемого высказывания вида A можно выводить высказывание вида A.

Пример вывода по правилу УДО:

Неверно, что это число не простое.

--------------------------------------------------

Это число простое.