Traduisez les mots sans consulter le dictionnaire. Les mathématiques – mathématiquement - la différenciation – différentiel (le) – la fonction – maximal (e) – les modèles

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Les mathématiques – mathématiquement - la différenciation – différentiel (le) – la fonction – maximal (e) – les modèles mathématiques – les phénomènes physiques – biologique - la radioactivité - la mécanique - la discipline - la dynamique – la population isolée - illustrer - l’évolution – proportionnel (le) – exponentiel (le) - négativement – positivement – cyclique – fondamental (e, aux) - la masse - la position - la forme.

Pour aller plus loin Liste des symboles mathématiques p. 140

Grammaire L’expression de la condition et de l’hypothèse p. 88

3. Lisez le texte et donnez votre propre définition de la locution «l’équation différentielle».

Équation différentielle, les premiers exemples

En mathématiques, une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L’ordre d’une équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise.

Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l’étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ d’étude, aussi bien en mathématiques pures qu’en mathématiques appliquées.

Même si ce n’est pas la discipline qui a fait naître les équations différentielles, la dynamique des populations en illustre de façon simple des exemples les plus accessibles. Ainsi l’étude d’une population isolée, dans un milieu produisant de la nourriture en abondance, conduit au modèle suivant pour l’effectif x en fonction du temps t

C’est-à-dire que l’accroissement de population x’(t), est à chaque instant, proportionnel à la taille de la population x(t). Les solutions de cette équation font apparaître un phénomène de croissance exponentielle.

Les courbes d’évolution des populations pour les équations de Lotka-Volterra

Un système plus complexe, formé de deux espèces, proie et prédateur, conduit aux équations de Lotka-Volterra.

L’effectif des proies est x(t), celui des prédateurs y(t). On retombe sur le cas précédent si y est nul. La quantité x(t)y(t) est une probabilité de rencontre, qui influe négativement sur une population, positivement sur l’autre. À chaque instant, connaissant les populations en présence, on peut décrire la tendance. Ces deux équations sont couplées c’est-à-dire qu’il faut les résoudre ensemble. Mathématiquement, il faut les concevoir comme une seule équation d’inconnue le couple (x(t),y(t)). Si l’effectif initial des populations est connu, l’évolution ultérieure est parfaitement déterminée. Elle se fait le long d’une des courbes d’évolution figurées ci-contre, qui laissent apparaître un comportement cyclique.

Une des plus célèbres équations différentielles est la relation fondamentale de la dynamique, de Newton: f = ma , où m est la masse d’une particule, f la force exercée sur celle-ci et a l’accélération qui en résulte. Dans le cas d’un mouvement rectiligne, si la force subie est fonction de la position (par exemple dans le cas d’un ressort) on obtient une équation de la forme

Cette fois, pour déterminer parfaitement le mouvement, il faut se donner position et vitesse initiales.

4. Vrai ou faux?

		VRAI	FAUX
1.	Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. ..................................................................	ÿ	ÿ
2.	L’ordre d’une équation différentielle correspond au degré minimal de différenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise. ..................	ÿ	ÿ
3.	Les équations différentielles ne représentent un vaste champ d’étude qu’en mathématiques appliquées. ..............................................................	ÿ	ÿ
4.	Un système complexe, formé de deux espèces, proie et prédateur, conduit aux équations de Lotka-Volterra. .......................................................	ÿ	ÿ
5.	À chaque instant, connaissant les populations en présence, on peut décrire la tendance. ....................	ÿ	ÿ
6.	Si l’effectif initial des populations est connu, l’évolution ultérieure ne peut être déterminée. .......	ÿ	ÿ
7.	Une des plus célèbres équations différentielles est la relation fondamentale de la dynamique, de Newton. ..................................................................	ÿ	ÿ

5. Lisez en français.

a)		b)
c)

6. Vous êtes professeur de mathématiques. Votre tâche est d’expliquer aux étudiants ce que c’est une équation différentielle.

B ð Équation différentielle, processus d’évolution et déterminisme

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