Числовая последовательность. Предел последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число, то задается числовая последовательность :

х₁, х₂, х₃, …, х_n, … (1)

Числовая последовательность (1) – это функция натурального аргумента.

Способы задания последовательностей:

1.Формулой n–го члена x_n=f(n).

2.Рекуррентная форма задания позволяет находить члены последовательности через предыдущие элементы. Например, если {a_n} – арифметическая прогрессия с разностью d, то a_n=a_n–1+d=a₁+d(n–1); для геометрической прогрессии {b_n} со знаменателем q имеем b_n=b_n–1*q=b_1*q^n–1.

3. Последовательность можно задать описанием её членов. Например, x_n – простое число с номером n.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого e>0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство½x_n–a½< e:

. (2)

При n>N имеем ½x_n–a½< e Û –e<x_n–a<e Û a–e<x_n<a+e. число а – предел последовательности (1), если в произвольной e-окрестности точки а находятся все члены последовательности с номерами n>N.

Последовательность {x_n} – сходящаяся, если она имеет конечный предел а. Если предел последовательности не существует или бесконечен, то {x_n} – расходящаяся последовательность, т.е. : .

Теорема 1 (Ограниченность сходящейся последовательности). Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

gПусть , тогда ("e>0)($k): ("n>k )® >e.

Из неравенства e >½x_n-a½³½x_n½-½a½ имеем½x_n½<½a½+e ("n>k). Если обозначить М=mах{½x₁½, ½x₂½,¼, ½x_k½,½a½+e}, то "nÎN ½x_n½£M, т.е. {x_n} – ограничена.n

Теорема 2. Если , (3) и а < b, (4)

то ($n₀ÎN): ("n>n₀)® x_n<y_n.

gПусть U=U(a), V=V(b) – какие-либо не пересекающие окрестности точек a, b. Из неравенства (4) следует, что

("xÎU) ("yÎV) ®x<y. (5)

Согласно условию (3): ($n₀ÎN):("n>n₀) ®(x_nÎU Ù y_nÎV). Учитывая (5), получаем требуемое: x_n<y_n.n

Теорема 3 (Переход к пределу в неравенствах). Если , (6) то . (7)

Теорема 4 (О пределе промежуточной последовательности). Если последовательности {x_n}, {y_n}, {z_n} таковы, что

"n>N₀x_n£ y_n£ z_n, (8)

и , то предел промежуточной последовательности также равен а: .