Критерий Коши сходимости последовательности
Пусть задана последовательность действительных чисел {xn}, сходящаяся к конечному пределу а: 
, т.е: ("e>0)($kÎN):"n>k ®|xn-a|<e/2.
Наряду с натуральным числом n>k в неравенство можно подставить и другое mÎN: m>k. Тогда 
: 
.
Тем самым доказано утверждение:
Если последовательность {xn} имеет предел, то для неё выполняется условие Коши:
. (1)
Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши (1), называется фундаментальной последовательностью. Справедливо и обратное утверждение.
Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
По теореме Больцано-Вейерштрасса у всякой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность { 
}. Пусть 
. (3)
Докажем, что а является пределом исходной последовательности. Из определения предела (3):
. (4)
последовательность по условию фундаментальна, поэтому 
.(5)
Пусть N=max(k, k0). Фиксируем в (4) номер nK>N (такой номер найдётся, так как nK®¥ при k®¥). Тогда при m=nK и при всех n>N в силу (5) выполняется неравенство: 
. (6)
Неравенства (4), (6) выполняются одновременно при всех n>N. Поэтому
£ 
, т.е. |xn-a|<e ("n>N). Это означает что 
.
1.8. Число е как предел последовательности 
1. Методом математической индукции докажем неравенство Бернулли: ("х>-1)("nÎN)®(1+x)n³1+nx. (1)
Неравенство (1) справедливо при n=1.
Пусть при n=k неравенство (1) выполняется, т.е.
(1+x)k³1+kx. (2)
Докажем справедливость (1) при n=k+1. Умножим обе части неравенства (2) на (1+х)>0:
(1+x)k+1³(1+kx)(1+х) = 1+(1+k)x+kx2³ 1+(1+k)x.
Из последнего, по принципу математической индукции, неравенство Бернулли доказывается для любого nÎN.
2. Пусть 
, 
. Докажем, что последовательность {yn} монотонно убывает и ограничена снизу. Оценим отношение:
= 
= 
× 
= 
× = 
× ³
³ 
× > 
× =1.
Значит, ("nÎN)® yn+1 < yn, т.е. {yn}монотонно убывает.
Учитывая неравенство Бернулли (1), имеем: 
³ 1+(n+1) 
=2+ > 2 ("nÎN),
т.е. {yn} ограничена снизу.
3. По теореме о пределе монотонной, ограниченной последовательности можно установить наличие предела для {уn}, т.е. 
уn=е. Значение предела нам пока неизвестно, но 2<e<3.
4. В произведении 
, предел которого известен, существует предел второго сомножителя 
=1. Поэтому можно установить и предел первого сомножителя: xn=е.
Число е является иррациональным и трансцендентным, т.е. нет алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, корнем которого было это число. Его значение мы установим во второй главе.