Определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения (интеграла)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания
к контрольной работе № 8
Составители Т.А. Шалыгина, Л.И. Цепилевич
Томск 2008
Дифференциальные уравнения: методические указания / Сост. Т.А. Шалыгина, Л.И. Цепилевич. Томск: Изд-во Том. гос. архит.- строит. ун-та, 2008. – 32 с.
Рецензент старший преподаватель Н.А. Мокряк Редактор Е.Ю. Глотова
Методические указания по высшей математике для студентов второго курса заочной формы обучения к выполнению контрольной работы № 8 по теме «Дифференциальные уравнения».
Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики, протокол № 9 от 21.05.2008 г.
Утверждены и введены в действием проректором по учебной работе В.В. Дзюбо
с 1.09.2008
до 1.09.2013
Подписано в печать. Формат 60х84/16 Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.
Уч.-изд. л. 1,68. Тираж 150. Заказ №
Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ. 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.
Введение
Данные методические указания предназначены для сту- дентов заочного факультета и дают ряд практических рекомен- даций студентам по выполнению контрольной работы. Указа- ния содержат список рекомендуемой литературы, вопросы для самопроверки, краткие теоретические сведения, рекомендации по решению типовых задач, контрольные задания.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные понятия
Определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения (интеграла)
1.1.Дифференциальным уравнением первого порядка на- зывается соотношение между независимой переменной х, неизвестной функцией у (х) и ее первой производной у¢, т. е.
F (x, y, y¢) = 0 .
Если это уравнение можно разрешить относительно про- изводной у¢, то оно примет вид
у¢ =
f (x, y) .
Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано с использованием дифференциалов х и у, т. е.
P(x, y)dx + Q(x, y) dy = 0 .
1.2.Общим решением дифференциального уравнения пер-
вого порядка называется функция ная, удовлетворяющая условиям:
у = j(х, с) , где с - постоян-
а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любых значениях постоянной с;
б) каково бы ни было начальное условие у = у0 , при
х = х0
можно найти такое значение
с = с0 , что функция
у = j(х, с0 )
удовлетворяет данному начальному условию.
1.3.Частным решением называется функция
у = j(х, с0 ) ,
которая получается из общего решения
у = j(х, с) , если в нем
произвольной постоянной с придать значение с0.
1.4.Соотношение вида
Ф(х, у, с) = 0 , неявно задающее
неизвестную функцию у, называется общим интегралом диф-
ференциального уравнения, а соотношение
стным интегралом.
Ф (х, у, с0 ) = 0 ча-
1.5.Геометрически общее решение (или общий интеграл)
представляет собою семейство кривых на координатной плос- кости. Частному решению (или частному интегралу) соответст- вует одна кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(х0, у0).
1.6.Задача Коши состоит в отыскании решения диффе-
ренциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего
начальному условию
у = у0
при
х = х0 .