Дифференциальные уравнения второго порядка
Основные понятия
5.1.Дифференциальным уравнением второго порядка на- зывается соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у (х) и ее первую и вторую производ- ные. Оно имеет вид
F (x, y, y¢, y¢ ) = 0
или, если оно разрешимо относительно у²,
y¢ =
f ( x, y, y¢) . (5.1)
5.2.Общим решением дифференциального уравнения вто- рого порядка называется функция
у = j(х,с1, с2 ) ,
содержащая две произвольные постоянные с1 и с2 такие, что если заданы начальные условия
у(х0 ) = у0 и
~
у¢(х0 ) = у0¢ ,
~
то найдутся такие значения
с1 и
с2 , что функция
у = j(х, ~с , с~ )
1 2
будет являться решением данного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющим этим начальным условиям.
5.3.Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных с1 и с2, назы- вается частным решением дифференциального уравнения.
5.4.Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (5.1) формулируется так:
Если функция
f (x, y, y¢)
и ее частные производные по у
и у¢ непрерывны в некоторой области, содержащей
х = х0 ,
у = у0 ,
у¢ = у0¢ , то существует единственное решение
у = у(х) ,
удовлетворяющее условиям
у(х0) = у0 ,
у¢(х0) = у0¢ .
5.5.Типы дифференциального уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка.
I тип.Уравнение имеет вид
у¢ =
f (x) .
Общее решение находится путем двукратного интегрирования следующим образом:
у¢ = dy¢ ,
dx
y¢ = ò f ( x)dx + c1 ,
у¢ = dy ,
y = ò (ò f ( x)dx)dx + c x + c .
dx 1 2
II тип.Уравнение не содержит явным образом искомой функции у (х):
у¢ =
f (x, y¢) .
Порядок уравнения понижается на единицу
заменой
у¢ = z(x) . Так как
у¢ = z¢ , то получим
уравнение первого порядка относительно z (х):
z¢ =
f (x, z) .
III тип.Уравнение не содержит явным образом независимой переменной х:
у¢ =
f ( у, y¢) .
Порядок уравнения понижается на единицу
с помощью подстановки
у¢ = z(у) . В этом случае
у¢ = dz
dy = dz z , и уравнение примет вид
dy dx
dy
z dz =
dy
f ( y, z) .