Однородные дифференциальные уравнения

3.1.Функция f (x, y) называется однородной функцией сво- их аргументов порядка n, если имеет место тождество

f (tx,ty) º t n f ( x, y) ,

где t – параметр. При

n = 0

получаем однородную функцию ну-

левого порядка, для которой имеет место соотношение

f (tx,ty) =

f (x, y) .

Например, функция

f ( x, y) = x2 - xy

есть однородная функция

второго порядка, так как

f (tx,ty) = (tx)2 - (tx) × (ty) = t 2 ( x2 - xy) = t 2 × f ( x, y) ,

а функция

f ( x, y) = 4x - 9 y

x + 7 y

есть однородная функция нулево-

го порядка, так как

f (tx,ty) = 4(tx)-9(ty) = t(4x -9y) = 4x -9y =

f ( x, y) .

tx + 7(ty)

t(x + 7 y)

x + 7 y

3.2.Дифференциальное уравнение вида

у¢ =

f ( х, y)

называется однородным, если функция

f (х, y)

есть однород-

ная функция нулевого порядка. Если дифференциальное урав- нение записано в виде

P(х, у)dx + Q(х, y) dy = 0 ,

то оно называется однородным, если обе функции

Р(х, у) и

Q(х, у)

порядка.

являются однородными функциями одного и того же

3.3.Однородное уравнение решают с помощью введения вместо неизвестной функции у (х) новой функции u (х) следую- щим образом:

u = y x

или

y = u × x .

В результате такой замены уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

3.4.Следует заметить, что если правая часть дифференци- ального уравнения может быть представлена в виде функции от

æ y ö

частного

у , т. е.

f ( x, y) = jç

÷ , то это уравнение является од-

x ø

нородным.