Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
4.1.Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неиз- вестной функции у (х) и ее производной у¢, т. е. уравнение вида
у¢ + р (х) × у = q(x) ,
где р (х) и q (x) – непрерывные функции от х.
Если
q(x) º 0 , то уравнение называется линейным одно-
родным уравнением.
4.2.Метод решения линейного уравнения – метод вариа-
ции произвольной постоянной – заключается в следующем.
Сначала находят общее решение однородного уравнения
у¢ + р(х) × у = 0 ,
которое имеет вид
у = с × е-ò р( х)dx .
Следуя методу вариации произвольной постоянной, общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
у = с(х) × е-ò р( х)dx , где с (х) – неизвестная пока функция от х.
После нахождения этой функции общее решение данного
уравнения станет известным.
4.3.Общее решение линейного уравнения может быть найдено другим способом.
Положим
у = u(x) × v(x) ,
где u (x) и v (x) – неизвестные пока функции. Найдя
у¢ = u¢ × v + u × v¢
и подставив в данное уравнение нужные выражения, будем иметь
u¢ × v + u × v¢ + p(x) × u × v = q(x) ,
или после преобразований
u¢ × v + u ( p( x) × v + v¢) = q(x) .
В качестве функции v (x) возьмем любое частное решение урав- нения
v¢ + p(x) × v = 0 ,
вторую функцию u (x) найдем, решив уравнение
u¢ × v = q(x) .
Найдя обе функции u (x) и v (x), мы найдем и общее решение уравнения
у = u (x) × v(x) .
4.4.Дифференциальное уравнение может оказаться ли- нейным относительно функции х (у) и ее производной х¢.Такое уравнение выглядит так:
х¢ + р( у) × х = q( у) .
4.5.Уравнение Бернулли имеет вид
у¢ + p( x) у = q( x) × уn , n ¹ 0, n ¹ 1.
Это уравнение заменой уравнению
z = y1- n
можно свести к линейному
z¢
1 - n
+ p ( x) × z = q( x) .
Более удобным практически является метод решения уравнения
с помощью подстановки Бернулли к линейному.
y = u (x) × v(x)
без сведения уравнения