Проверка согласия между эмпирическим и теоретическим распределениями по критерию согласия Колмогорова

При аппроксимации эмпирических данных возможны случаи, когда одни и те же данные могут быть описаны несколькими распределениями. Поэтому необходима проверка согласия между распределением случайной величины, полученным по результатам наблюдений (подконтрольной эксплуатации) с выдвинутой гипотезой теоретического распределения этой величины. При этом предпочтительнее выбирать то распределение (с учетом физической природы отказов), которое дает наибольшую вероятность согласия.

Решение такой задачи основано на использовании фундаментального положения математической статистики о том, что эмпирическая функция распределения сходится по вероятности и теоретически при неограниченном увеличении размера выборки, если выборка принадлежит выдвинутому по гипотезе теоретическому распределению. Эмпирическая функция распределения при конечном размере выборки t₁, t₂,…,t_N отличается от теоретической, поэтому используется числовая мера расхождения (критерий согласия) . Если , то гипотеза о том, что эмпирическое распределение, которому принадлежит выборка (t₁, t₂,…,t_э ), соответствует теоретическому распределению , не может быть принята. Установление некоторой допустимой вероятности отклонения гипотезы о том, что выборка принадлежит распределению позволяет определить пороговое значение С* критерия согласия. Вероятность α называется уровнем значимости, т.е. вероятностью отвергнуть правильную гипотезу. Тогда:

, (16)

т.е. - процентная точка распределения определяет пороговое значение критерия согласия.

Критерий согласия Колмогорова немного проще других критериев, поэтому он часто используется на практике. Однако его применение осложняется несколькими причинами. При сопоставлении функций экспериментального и теоретического распределения необходимо знать значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения наблюдаемой величины. Использование вместо математического ожидания и среднего квадратического отклонения их выборочных оценок и при малом числе наблюдений (или при большом числе наблюдений, сгруппированных в малом числе интегралов) может привести при проверке согласия к ошибочным выводам. Поэтому проверку согласия по критерию Колмогорова проведем для предварительной оценки (в дальнейшем проверку согласия оценим критерием Пирсона).

Для выполнения проверки согласия по критерию Колмогорова перенесем из табл. 2 значения граф 1,2,3,11, 12 в графы 1...4 табл. 4.

Находится максимальное отклонение функция эмпирического распределения от функции теоретического распределения, обозначаемое :

. (17)

Таблица 4