Примеры построения разверток
Развертка поверхности.
Графические способы построения разверток.
Примеры построения разверток.
Разверткой поверхности называется фигура, получающаяся от одностороннего совмещения поверхности с плоскостью. При этом каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке.
Теоретически точно разворачиваются только гранные поверхности, цилиндрические, конические и торсы. При построении разверток цилиндрических и конических поверхностей используется число π, поэтому
точность их относительная. На практике при развертывании конических и цилиндрических поверхностей общего вида их заменяют, аппроксимируют, вписанными многогранными поверхностями. Затем, применяя различные графические способы, строят развертки этих вспомогательных вписанных поверхностей, т. е. развертка получается приближенной.
На развертке сохраняются:
1.длина линии, лежащей на поверхности;
2.величина угла между линиями, лежащими на поверхности;
3.площади фигур, образованных замкнутыми линиями поверхности, следовательно, площадь развертки равна площади развертываемой поверхности;
4. прямая линия на поверхности переходит в прямую на развертке;
5.паралельные прямые соблюдают параллельность на развертке.
Правило: линия между двумя точками развертывающейся поверхности, соответствующая прямой на развертке, является кратчайшей линией (кратчайшее расстояние) между этими точками.
При построении приближенных разверток неразвертываюшихся поверхностей данную поверхность делят на отсеки (части). Каждую часть заменяют частью развертывающейся поверхности. Затем строят развертки этих отсеков, которые в сумме представляют развертку данной поверхности.
Графические способы построения разверток
1. Способ нормального сечения.В этом случае заданная поверхность пересекается плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, т. е. строится нормальное сечение. Затем линия нормального сечения развертывается в прямую, а образующие поверхности в перпендикулярные ей прямые. Линия нормального сечения принимается за базу отсчета размеров образующих. Этот метод используется для построения разверток призматических и
цилиндрических поверхностей. рассмотрим пример построения развертки призмы (Рис.1).
ЛЕКЦИЯ 8-2
Рис. 1
2. Способ раскатки.Используется теорема о проецировании прямого угла и способ вращающейся точки: плоскость окружности вращения перпендикулярна ее оси. На развертке строят проекции плоскостей, в которых вращаются конечные точки образующих и, зная, расстояние между образующими, строят эти точки и сами образующие.
Применяется для развертки призматических (Рис.2) и цилиндрических поверхностей и тогда, когда их образующие занимают частное положение.
Рис.2
3. Способ триангуляции.В этом способе заданные поверхности аппроксимируются многогранной поверхностью с треугольными гранями. Определяют размеры сторон каждой грани. Развертку поверхности строят как сумму разверток треугольных граней вписанной многогранной поверхности.
ЛЕКЦИЯ 8-3
Общий случай построения разверток кривых поверхностей
Поверхность заменяется другой, которая и вписывается в данную или описывается около нее и которая легко развертывается. Криволинейные поверхности (с кривыми образующими) заменяются такими простыми развертывающимися поверхностями, как цилиндры и конусы вращения. А они, в свою очередь, заменяются многогранными, которые уже разворачиваются простыми способами. При этом надо уметь спрямлять пространственную кривую по способу хорд (Рис.3).
1.Разбиваем на части кривую, причем, чем больше точек разбивки, тем точнее построения;
2.Спрямляем как плоскую кривую одну из ее проекций.
Рис.3
Примеры построения разверток
ЗАДАЧА: построить развертку поверхности трехгранной призмы. Построить точку, принадлежащую поверхности, на развертке,
Разверткой данной поверхности будет прямоугольник (Рис. 4). Одна его сторона равна длине боковых ребер, а другая – сумме длин ребер основания. Значит, для построения надо знать истинные величины боковых ребер и ребер основания. Воспользуйтесь способом замены плоскостей проекций для их нахождения, если это необходимо по заданию задачи.
Рис.4
ЛЕКЦИЯ 8-4
ЗАДАЧА: построить развертку прямого кругового цилиндра. Построить точку, принадлежащую поверхности, на развертке.
Разверткой боковой поверхности цилиндра будет прямоугольник, высота которого равна длине образующих, а длина равна развертке окружности основания, т. е. длине окружности. Вписываем в поверхность цилиндра многогранную призму и строим ее развертку.
Рис.5
ЗАДАЧА: построить развертку пирамиды. Построить точку, принадлежащую поверхности, на развертке.
Для построения развертки пирамиды надо сначала определить натуральные величины всех ребер пирамиды способами преобразования. Затем мысленно разрежем пирамиду по любому боковому ребру и совместим с плоскостью боковой грани. Используем метод засечек для построения вершин пирамиды.
Для построения точки на развертке воспользуемся, любой прямой, проведенной через заданную точку, построим ее на развертке, предварительно определив ее натуральную величину (Рис.6).
Рис.6
ЛЕКЦИЯ 8-5
ЗАДАЧА: построить развертку поверхности прямого кругового конуса. Построить точку, принадлежащую поверхности, на развертке.
Поверхность прямого кругового конуса разворачивается в сектор. Построить развертку можно, рассчитав угол при вершине конуса. Но для нахождения точек и линий на развертке необходимо построить развертку с помощью образующих, заменяя его поверхность вписанной пирамидой (Рис.7).
Рис.7