Приклад 2.20
.
Приклад 2.21. Довести, що при н. м. і будуть еквівалентними.
Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій.
Отже, за означенням ці величини еквівалентні.
Запам’ятай добре! В тих випадках, коли потрібно розкрити невизначеність типу , її зводять шляхом елементарних перетворень до невизначеностей типу або , які розкривають, використовуючи таблицю еквівалентностей.
Приклад 2.22. .
Розв’язання. Перейдемо до іншої невизначеності. Для цього використаємо властивості логарифмічної функції:
.
Приклад 2.23. .
Розв’язання. Перетворимо невизначеність в невизначеність (це завжди можна зробити), після чого приведемо границю до виду, коли можливе застосування еквівалентних перетворень.
.
Приклад 2.24. .
Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Оскільки при многочлен в чисельнику перетворюється в нуль ( - корінь чисельника), то за теоремою Безу він розкладається на множники, один з яких . За теоремою Вієта другий корінь . Тому . Маємо
.
Приклад 2.25. .
Розв’язування. Перейдемо до іншої невизначеності. Для цього використаємо властивості логарифмічної функції:
.
Оскільки при , то невизначеності в останній границі немає і
.
7.Розкриття невизначеностей типу при з ірраціональними виразами під знаком границі.
Для розкриття таких невизначеностей потрібно домножити і поділити вираз, що стоїть під знаком границі, на спряжений до виразу, який містить ірраціональність. Виконавши необхідні перетворення обчислюємо дану границю.
Приклад 2.26. .
Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Для її розкриття потрібно звільнитися від ірраціональності у чисельнику. З цією метою помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз .
.
Оскільки при многочлен в знаменнику перетворюється в нуль, то за теоремою Безу знаменник ділиться на різницю без остачі. Виконаємо ділення на в стовпчик:
, тоді .
Отже,
.
Приклад 2.27.
Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Для її розкриття потрібно звільнитися від ірраціональності у чисельнику та знаменнику. З цією метою помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз . Маємо:
8.Розкриття невизначеності типу з використанням другої важливої границі
, (*)
тут довільна н. м. функція .
Приклад 2.28. .
Розв’язання. Спосіб І. Маємо невизначеність . Виконаємо тотожні перетворення, які приведуть границю до виду (*)
.
Вираз, що знаходиться в квадратних дужках, приведено до виду (*), де при , тому . Отже, матимемо:
.
Спосіб ІІ.
.
Приклад 2.29. .
Розв’язання. Спосіб І. Маємо невизначеність . Виконаємо тотожні перетворення, які приведуть границю до виду (*)
.
Вираз, що знаходиться в квадратних дужках, приведено до виду (*), де при , тому . Отже, матимемо:
.
Спосіб ІІ.
.