Тогда из выражения (47) имеем

Y + DY = A×(X + DX) + B, (48)

вычтя (47) из (48), получим

DY = A×DX. (49)

Если DX – погрешность измерения величины X,то соответственно DY будет погрешностью результата.

В общем случае, если Y = f(X), то для погрешностей, малых по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать

DX = f'(X)×DX . (50)

Если мы хотим найти величинуотносительной погрешности, то из (50) легко получаем

DY/Y = [f’(X)/f(X)]×DX. (51)

Эти определения относятся и к случайным и к систематическим погрешностям.

2. Простейший случай, когда интересующая нас величина явля­лась суммой двух или нескольких независимо измеряемых величин X1, X2, ...,Xn, мы уже разбирали и написали для вычисления случайных погрешностей правило сложения дисперсий (26).

Теперь дадим правила вычисления погрешностей для случаев произведения и частного.

Если Y = X1×X2×X3, то

sY2 = (X1X2sX3)2 + (X2X3sX1)2 + (X1X3sX2)2.(52)

Аналогично вычисляются погрешности для большего числа сомно­жителей .

Если Y = X1/X2, то

sY2 = (sX1/X2)2 + (X1/X2)sX22. (53)

Относительные погрешности для случаев (52) и (53) выглядят одинаково:

(sY/Y)2 = (sX1/X1)2 + (sX2/X2)2 + (sX3/X3)2. (54)

и аналогично

(sY/Y)2 = (sX1/X1)2 + (sX2/X2)2 (55)

Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, можно погрешность функции Y от переменных X1, X2, ..., Xn представить в виде

sY = {1Sn[(¶f/¶Xi)×sXi]2}1/2. (56)

Формулы (52¸56) сохраняют свой вид, если вместо s мы возь­мем среднеквадратические погрешности nS,вероятные p или среднеарифметические r.

В общем виде

DY = {1Sn[(¶f/¶Xi)×DXi]2}1/2. (57)

Относительную погрешность величины Y легко вычислить, на­писав

(DY/Y)2 = 1Sn[(1/f)×( ¶f/¶Xi)×DXi]2.

Так как

(1/f)×(¶f/¶Xi) = ¶lnf/¶Xi, (58)

то для относительной погрешности получаем

DY/Y = {1Sn[¶ lnf/¶Xi)×DXi]2}1/2. (59)

Может возникнуть вопрос, как правильнее вычислять среднеариф­метическое значение и погрешность результата в случае косвенных измерений?

Если у = f(x)и измерения дают нам ряд значений xi, то мож­но поступить двояким образом:

1) вычислить <x> = Snxi/n и, подставив это значение в уравне­ние у = f(x), получить <у> = f(<x>);

2) для каждого из значений xi вычислить уi = f(xi), а затем определить у по соотношению <y> = 1Snyi/n. (60)

Соответственно двумя способами можно определять и погреш­ность величины y: либо, определив погрешность величины <x>, воспользоваться соотношением

Dy = f'(x)×Dx, (61)

либо, вычислив ряд значений yi определить погрешность величи­ны y обычным путем, например,

s<y> = {1Sn(<y> – yi)2/(n –1)}1/2.

Можно показать, что если погрешности измерений малы по срав­нению с измеряемой величиной (именно это предположение положе­но в основу всех наших формул), то оба способа дают достаточно близкие результаты, и поэтому безразлично, каким из них пользо­ваться.

Здесь следует руководствоваться практическими удобствами рас­чета, а с этой точки зрения первый способ представляется менее трудоемким. Кроме того, если результаты измерений распределены по нормальному закону, то закон распределения величин y, вооб­ще говоря, отличен от нормального.

Поэтому для определения до­верительных интервалов по табл.IV лучше пользоваться первым способом. Если же применять второй способ, то целесообразно убе­диться в близости полученного распределения к нормальному.

 

12. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

РАЗЛИЧНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ

При косвенных измерениях нужный нам результат обычно отягчен случайными погрешностями» различными для разных величин Xi, от которых зависит интересующая нас величина Y.

Результирующая погрешность и в этом случае определяется с помощью уже извест­ного нам закона сложения случайных погрешностей. Вычисление удобнее выполнять, пользуясь относительными погрешностями.

Поясним это на примере определения плотности. Допустим, что в нашем распоряжении имеется прямоугольный параллелепипед из вещества, плотность которого нужно определить. Длины его граней X1, X2 и X3. Для определения плотности d = m/V (где т – масса параллелепипеда, V – его объем) мы измеряем длины гра­ней и массу нашего образца. Пусть sX1, sX2, sX3 – среднеквадра­тические погрешности измерения длин граней, а sm – погреш­ность определения массы. Тогда, согласно формуле (26),

(sd/d)2 = (sm/m)2 + (sX1/X1)2 + (sX2/X2)2 + (sX3/X3)2.

Допустим, что взвешивание производится на аналитических ве­сах, дающих погрешность около 1 мг при массе образца около 10 г. Тогда sm/m » 10–4 » 10–2 %.

Пусть объем нашего тела около 1 см3. Если мы хотим, чтобы точность измерения плотности тела определялась в основном точ­ностью взвешивания, то необходимо, чтобы погрешность в измере­нии длин граней была меньше погрешности взвешивания, то есть sX/X < 10–4; это при размере граней в 1 см означает, что sX должна быть меньше 10–4 см. Если в нашем распоряжении для измерения длины есть инструменты типа штангенциркуля, допускающего погреш­ность до 0.01 см, то очевидно, что необходимой степени точности мы не получим, так как точность измерения длины составит всего 100. В этом случае для взвешивания можно пользоваться более грубыми весами, дающими погрешность в несколько десятков раз большую, например, так называемыми техническими. Это будет и более целесообразно, ибо потребует меньшей затраты времени и средств. Однако если нам все же необходимо определить плотность с точностью 104, то следует для из­мерения сторон параллелепипеда пользоваться очень точным микро­метром, позволяющим измерить длину с погрешностью, меньшей чем 10–3мм, и в этом случае необходимо взвешивать на аналитиче­ских весах.

На приведенном примере можно проследить еще некоторые свой­ства резуль­тирующей погрешности, являющиеся следствием закона суммирования погрешно­стей.

Допустим, что наш параллелепипед имеет плоскую форму, то есть X1 << X2 » X3 (рис.13).

Большинство инструментов, применяемых для измерения длины, дает погрешность Dx, величина которой почти не зависит от из­меряемой длины (в пределах измерения данным инструментом).

Абсолютная погрешность постоянна (см. стр.15). Поэтому мы и положим sX1= sX2= sX3= sx, но в этом случае

sX1/X1 >> sX2/X2 » sX3/X3

и определяющей будет погрешность измерения самой малой грани.

Практически, если одна грань в 3¸4 раза меньше двух других, то погрешностями измерения последних можно пренебречь.

Таким образом, формула (57) всегда позволяет сделать оценку роли погрешностей в различных звеньях измерительного процесса. Причем условия измерений наиболее рационально выбрать так, что­бы относительные погрешности каждого звена были приблизительно одинаковыми. В противном случае точность результата обычно за­дается какой-то одной величиной, а именно той, точность изме­рения которой наименьшая.

 

13. СОГЛАСОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СО СВОЙСТВАМИ ИЗМЕРЯЕМОГО ОБЪЕКТА

Вернемся к примеру с измерением плотности. В том случае, когда необходимо измерить ее с высокой степенью точности, кото­рая определялась бы в основном погрешностью взвешивания на ана­литических весах, нужно, как мы говорили, измерять длины ребер с погрешностью, меньшей 1 мкм. Однако легко показать, что без дополнительных мер предосторожности измерение длин с такой по­грешностью все же не приведет к нужной точности в измерении объема.

Действительно, объем параллелепипеда V мы положили равным X1×X2×X3. На самом деле он отличается от этой величины в первую очередь потому, что у реально­го параллелепипеда углы не равны точ­но 90°, а поверхности не строго плос­кие. Легко показать, что если один из углов квадрата имеет погрешность в 1°, то это даст погрешность в его площади около 1%.

Для того чтобы объем куба можно было измерить с точностью 10.000 без учета поправок на отклонение углов от 90°, необходимо, чтобы утлы были выполнены с отклонением меньше минуты. Достичь такой точности углов в процессе изготов­ления трудно, и для многих изделий утлы отягчены большей погреш­ностью. Погрешность, определяемая отклонением поверхностей парал­лелепипеда от плоскости, чаще всего невелика, но если поверхность, например, сильно шероховата, то последнее может внести заметное искажение в измерение длин, как это легко понять из рис.14, на котором шероховатость представлена в увеличенном виде. В резуль­тате неровности поверхности измеренный объем всегда будет боль­ше истинного. Для случая определения плотности описанным мето­дом чаще всего именно погрешности углов параллелепипеда будут ограничивать точность измерения его объема.

И поэтому нет смысла доби­ваться точности измерения длин большей,чем та, которая может быть достигнута при применении соотношения V = X1×X2×X3, то есть без учета погрешно­стей, допущенных при изготовлении парал­лелепипеда. Эта ситуация совершенно аналогична описанной нами, когда речь шла о роли систематических и случайных погрешностей. Мы тогда указывали, что нет особого смысла стремиться сделать случайную погрешность значительно меньше, чем та систематиче­ская погрешность, которая определяется классом точности измери­тельного устройства. Совершенно также нет смысла добиваться, чтобы погрешность измерений была меньше погрешности, определяе­мой той схематизацией, которая принята при наших измерениях. В самом деле, любая формула, устанавливающая количественную связь между физическими величинами, является некоторой матема­тической моделью, в действительности удовлетворяющейся с тем или иным приближением.

В нашем примере не были учтены отклонения углов параллеле­пипеда от 90° и его поверхности от плоскости. Нетрудно написать более сложную формулу для объема с учетом этих обстоятельств. Но такая формула также всегда будет лишь некоторым приближени­ем к действительности, и погрешность наших измерений должна быть согласована с соответствием принятой, модели реальным свой­ствам измеряемого объекта.

Оценку необходимой точности следует делать в результате тща­тельного анализа условий опыта и факторов, влияющих на конеч­ный результат.

 

14. УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ И СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Ранее мы говорили» что измерения следует организовать так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематиче­ской погрешностью измерений, которая не может быть меньше по­грешности измерительного прибора. Для этого рекомендовалось про­вести такое число измерений, чтобы случайная погрешность резуль­тата была незначительна по сравнению с систематической погреш­ностью.

Однако не всегда возможно осуществить необходимое число из­мерений. Этому может препятствовать высокая стоимость измерений, а для изменяющихся со временем величин иногда процесс измерения оказывается слишком длительным и мы просто не успеваем произ­вестидостаточное число измерений.

В результате часто приходится мириться с положением, когда систематическая и случайная погрешности измерений близки друг к другу и они обе в одинаковой степени определяют точность резуль­тата. К сожалению, в этом случае трудно дать достаточно строгое определение суммарной погрешности измерений.

Когда мы имеем дело только с погрешностью прибора, то, ука­зывая, как в примере с миллиамперметром, погрешность ±0.75 мА, мы, естественно, не зная свойств данного прибора, ничего не можем сказать о том, какова вероятность сделать погрешности +0.2 или –0.3 мА. Мы знаем только верхнюю границу возможных погрешностей. Если к такой систематической погрешности присоеди­няется случайная, то, очевидно, также почти ничего нельзя сказать о вероятности появления погрешностей различной величины, но можно оценить значения суммарных погрешностей.

В самом деле, если величину систематической погрешности обо­значить d, а дисперсию измерений – s2, то в качестве верх­ней границы суммарной погрешностиS мы можем принять

S = d + 2s. (62)

Действительно, с вероятностью более 0.95 мы можем утверж­дать, что результаты измерений не будут отличаться от истинного значения на величину, превышающую S.

Такое правило сложения можно распространить на систематиче­ские погрешности любого происхождения.

Подчеркнем еще раз, что вопрос о сложении систематических и случайных погрешностей актуален только тогда, когда одна из них не более чем в несколько раз превышает другую. В противном случае в качестве меры погрешности измерения следует указывать только большую погрешность.

Отметим, что, не имея строгого решения, вопрос о правилах сложения систематической и случайной погрешностей можно решать разным образом.

Иногда рекомендуют вообще отказаться от нахождения суммар­ной погрешности и давать в качестве меры погрешности измерений две погрешности - систематическую и случайную.

Однако, чтобы воспользоваться результатом измерений, нам, как правило, нужно знать общую его погрешность вне зависимости от причин, ее породивших.

Поэтому приходится каким-то образом ком­бинировать систематическую и случайную погрешности для получе­ния единой числовой характеристики точности измерений.

Одно из возможных правил нахождения такой суммарной погреш­ности состоит в том, что мы условно полагаем систематическую погрешность распределенной также по нормальному закону и счита­ем, что указанная величина этой погрешности d соответствует утроенному значению среднеквадратической условной погрешности s', то есть d » 3s'. В этом случае суммарную погрешность нужно писать так:

S = [9×(s')2 + 9×s2]1/2 = [d2 + 9×s2]1/2. (63)

Погрешности S тогда можно приписать доверительную вероят­ность 0.997. Легко показать, что различие, даваемое формулами (62) и (63), невелико. Практически (так как мы не знаем истинно­го закона распределения систематических погрешностей) можно поль­зоваться любой из них для ориентировочных оценок суммарной по­грешности.

Бели известно, что результаты измерения содержат систематиче­ские погрешности d1, d2, ... , dn и случайную s, то для нахожде­ния суммарной погрешности S часто служит формула

S = [s2 + Sndi2]1/2. (64)

В книге Тейлора с соавторами [18] при обсуждении применимос­ти этой формулы указывается, что она дает общее среднеквадрати­ческое отклонение, если все систематические погрешности независи­мы и каждая характеризуется своим значением S. Далее авторы пишут: "Хотя нельзя сказать точно, удовлетворяют ни этому усло­вию систематические погрешности, принято считать, что удовлетворяют". К сожалению, последняя оговорка в значительной мере обесценивает обоснованность применения формулы (64), но ею все же широко пользуются даже при таких ответственных процедурах, как согласование численных значений основных физических констант.

В защиту формулы (64) можно, однако, привести следующее: систематические погрешности в данной серии измерений име­ют постоянное, но неизвестное нам значение, которое может оказаться иным в другой серии, или при других условиях эксперимента. Значения d в формулах (62)¸(64) – это не истинные значения систематических погрешностей, которые нам неизвестны, а наши оценки этих погрешностей. Такие оценки посто­янных величин являются величинами случайными.

А если погреш­ностей d несколько, то можно с некоторой долей уверенности го­ворить и о нормальном законе распределения систематических по­грешностей.

Отметим, что погрешность s также является постоянной величи­ной, точное значение которой нам неизвестно. Взамен него во всех вычислениях всегда фигурирует случайная величина nS, кото­рая служит оценкой s, тем лучшей, чем больше n.

Поэтому формулу (64) следует признать вполне закономерной.

 

15. ОПТИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ

Для уменьшения случайной погрешности результата, как мы уже знаем, могут быть использованы два пути: улучшение точности из­мерений, то есть уменьшение величины s, и увеличение числа изме­рений, то есть использование соотношения s<x> = s/n1/2.

Сейчас будем говорить только о последнем приеме, условна счи­тая, что все возможности совершенствования техники измерений уже использованы.

Пусть систематическая погрешность измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятель­ствами, будет d.

Известно, что уменьшать случайную погрешность целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться ее систематической составляющей. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной степенью надежности, был существенно меньше величины систематической погрешности, то есть

Dx << d. (65)

Разумеется, нужно условиться, какой степени надежности мы требуем и какую величину для случайных погрешностей следует считать допустимой, то есть какое соотношение величин Dx и d можно считать удовлетворяющим условию (65). Строгую оценку этого сделать трудно, однако можно исходить из того, что, как правило, нет необходимости определять общую погрешность с точ­ностью, большей 10. Это означает, что в том случае, когда Dx £ d/10, условие (65) можно считать выполненным. Прак­тически обычно можно удовлетвориться гораздо менее жестким тре­бованием: Dx £ d/3 или даже Dx £ d/2.

Надежность a, с какой мы хотим установить доверительный ин­тервал, в большинстве случаев не должна превышать 0.95, хотя иногда требуются и более высокие значения a. Для оценки опти­мального числа измерений в Приложении помещена табл.V [14], в которой Dx дано в долях средней квадратической погрешности. Приведем примеры пользования этой таблицей.

 

1. Измеряется диаметр шарика с помощью микрометра, имеющего погрешность в 1мкм. Средняя квадратическая погрешность единичного измерения равна 2.3 мкм. Сколько измерений нужно проделать, чтобы получить погрешность не более 1.5 мкм с надежностью 0.95?

Положим Dx = d/2 = 0.5 мкм, nS = 2.3 мкм, Dx = (0.5/2.3)×nS = 0.22×nS .

Из табл.V для a= 0.95 при e = 0.3 находим п = 46 и при e = 0.2 n = 100. Составив соответствующую пропорцию, легко рассчитать, что для e = Dx/S = 0.22 требуется n »57.

Таким образом, нужно сделать около 60 наблюдений, чтобы случайная погрешность изменила общую погрешность результата измерений не более чем в полтора раза.

 

Интересно посмотреть, сколько нужно сделать измерений, если мы наложим еще менее жесткое требование, а именно чтобы систематическая и случайная погрешности были примерно равны по ве­личине.

Вэтом случае полагаем d= Dx = 0.45×S,тогда из той же табл.V находим (для a= 0.95) n » 23.

Мы видим, что число необходимых измерений получалось хотя и большое, но такое, которое часто может быть выполнено.

2. Относительная среднеквадратическая погрешность для некото­рого измерения составляет 1%. Систематическая погрешность изме­рений d = 0.1%.

Сколько измерений нужно проделать, чтобы случай­ная погрешность практически не играла роли?

Так как все погрешности выражены в относительных единицах, то

Dx/s = 0.05/1 = 0.05.

Из табл.V находим для той же доверительной вероятности a = 0.95 и для Dx/s = 0.05 требуется n = 1500(!).

Очевидно, что практически такое число измерений обычно про­делать нельзя.

Из этих примеров можно сделать заключение, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайной погрешности на результат только в том случае, если средняя квадратическая погрешность не более чем в несколько раз превосходит системати­ческую погрешность. Реально это возможно, если s £ 5×d

При больших значениях s для существенного уменьшения роли случай­ной погрешности уже требуются сотни и тысячи, а иногда десятки тысяч измерений, как это видно из табл.V.

При такой ситуации для уменьшения общей погрешности резуль­тата измерений необходимо радикально менять методику с тем, что­бы существенно уменьшить случайную погрешность измерений.