Элементы финансовой математики, используемой в экономике недвижимости

Денежные потоки, возникающие в разные моменты времени, имеют разную ценность и для сопоставления между собой приводятся к одному моменту времени. Неодинаковая ценность денежных потоков определяется в первую очередь действием объективных экономических законов, а не инфляцией, как кажется на первый взгляд. Для учета инфляции в экономических расчетах изменения ценности денежных потоков во времени, как правило, используются специальные методы, применяемые к ниже приведенным функциям финансовой математики.

Процессы преобразования текущей и будущей стоимости называются капитализацией и дисконтированием. Капитализация денежных потоков – это процедура приведения текущего значения денежных потоков к их будущей ценности. Дисконтирование денежных потоков – это процедура приведения будущих значений денежных потоков к их ценности на текущий (базовый) момент времени.

Дисконтирование (капитализация) денежных потоков осуществляется путем умножения их значения на коэффициент дисконтирования (капитализации) в текущий период.

Процессы капитализации и дисконтирования денежных потоков базируются на определении сложного процента. Сложный процент – это процедура начисления процентов как на основную сумму, так и на невыплаченные проценты, начисленные за предыдущий период. Базовой формулой начисления сложного процента является

,

где kn – коэффициент капитализации процентов после n периодов;

r – годовая ставка дохода (норма дисконта, ставка дисконтирования, норма капитализации, норма доходности);

n – количество периодов накоплений (например, число лет, в течение которых происходит накопление).

В практике оценки эффективности инвестиционных проектов обычно используется следующая формула определения коэффициента дисконтирования:

,

где r – норма дисконта;

t – текущий период.

Например, она используется при определении таких показателей, как чистый дисконтированный доход, внутренняя норма доходности, индекс рентабельности инвестиций и т.п. Это связано прежде всего с тем, что все значения денежных потоков (от инвестиционной, операционной, финансовой деятельности) приводятся к базовому моменту оценки и на основе сопоставления суммарных приведенных эффектов и инвестиционных затрат принимаются решения о целесообразности реализации инвестиционного проекта.

Основными функциями финансовой математики, используемыми в экономике недвижимости, являются шесть функций сложного процента:

1. Будущая стоимость денежной единицы – FV (Future value);

2. Будущая стоимость аннуитета – FVA (Future value of an annuity);

3. Фактор фонда возмещения – SFF (Sinking fund factor);

4. Текущая стоимость денежной единицы – PV (Present value);

5. Текущая стоимость аннуитета – PVA (Present value of annuity);

6. Взнос на амортизацию денежной единицы – IAO (Installment of amortize one).

Будущая стоимость денежной единицыпозволяет определить будущую стоимость инвестированной денежной единицы исходя из предполагаемых нормы доходности, срока накопления и периодичности начисления процента:

,

где FV – будущая стоимость денежного потока;

PV – текущая стоимость денежного потока;

n – число лет, в течение которых происходит накопление.

Приведенная формула справедлива, если начисление процентов происходит один раз в год. При более частом начислении процентов (например, раз в квартал, раз в месяц и т.п.) формула будет выглядеть следующим образом:

,

где m – частота начисления процентов в год.

Из приведенных формул видно, что чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма. Таким образом, на практике выделяют номинальную и эффективную ставки дохода. Годовая эффективная ставка дохода отличается от годовой номинальной, так как учитывает капитализацию процентов (частоту начисления процентов в год).

На практике, как правило, используются денежные потоки не с единичными платежами, произведенными в определенный момент времени, а с серией платежей, происходящих в различные моменты времени. Если платежи происходят через строго определенные промежутки времени, то такая серия называется аннуитетом.

Аннуитеты разделяются на следующие виды: равномерные и неравномерные, обычные и авансовые. Равномерным аннуитетом называется аннуитет, состоящий из серии равновеликих платежей. Противоположностью ему является неравномерный аннуитет, при котором величина платежей может быть разной в различных платежных периодах. Аннуитет называется обычным (постнумерандо), если платежи осуществляются в конце каждого платежного периода, и авансовым (пренумерандо), если платежи производятся в начале платежного периода.

В случае использования обычных равномерных аннуитетов имеет место геометрическая прогрессия, поэтому, применив известную из курса математики формулу суммы членов геометрической прогрессии:

,

где b1 – первый член геометрической прогрессии;

q – знаменатель геометрической прогрессии,

можно получить выражение для будущей стоимости аннуитета:

,

где PMT – величина аннуитета (равномерного платежа).

В случае использования авансового аннуитета применяется следующую формула:

.

При внесении аннуитетов чаще, чем один раз в год, соответственно чаще накапливается процент. Тогда ранее полученная формула примет вид:

.

Из этих формул видно, что чем чаще делаются взносы, тем больше накопленная сумма. Вторая функция сложного процента показывает, какой будет стоимость серии равновеликих платежей, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, по истечении установленного срока.

Фактор фонда возмещенияпозволяет рассчитать величину периодического платежа, необходимого для накопления нужной суммы по истечении n платежных периодов при заданной ставке процента.

Из формулы будущей стоимости аннуитета можно сделать вывод, что величина каждого платежа (SFF) в случае обычного аннуитета вычисляется следующим образом:

.

В случае авансового возмещения (соответствующего авансовому аннуитету) формула единичного платежа имеет вид:

.

Из этих формул видно, что чем больше процент, начисляемый на платеж, тем больше величина платежей.

Текущая стоимость денежной единицы– это величина, обратная будущей стоимости денежной единицы (первой функции сложного процента). Текущая стоимость денежной единицы определяется исходя из ее значения, которое должно быть получено в будущем:

.

При более частом накоплении процентов формула принимает вид:

.

Из формул видно, что чем выше частота дисконтирования, тем меньше необходимая сумма текущей стоимости денежной единицы.

Текущая стоимость (равномерного обычного) аннуитетаравна сумме текущих стоимостей всех платежей. Обозначив текущую стоимость k-го платежа через PVk, получаем текущую стоимость равномерного аннуитета:

.

Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, выводится выражение для текущей стоимости аннуитета:

.

Аналогично обычному аннуитету вычисляется текущая стоимость для авансового аннуитета:

.

Из формул видно, что чем больше величина платежа, тем выше текущая суммарная стоимость.

Взнос на амортизацию денежной единицыпозволяет определить величину периодического платежа по кредиту (состоящего из части основной суммы долга и процентов за его использование) для его погашения в течение установленного срока. В общеэкономическом смысле амортизация представляет собой процесс погашения долга в течение определенного периода времени. Погашение кредита равномерными платежами предполагает, что текущая стоимость равна первоначальной сумме кредита. Используя формулу текущей стоимости аннуитета, получаем величину периодического платежа –взноса на амортизацию капитала:

.

Используя аналогичные рассуждения, можно получить величину взноса на амортизацию капитала для авансового аннуитета:

.

Каждый равномерный платеж состоит из двух частей:

IAO = IAOпр + IAOкр ,

где IAOпр – погашение процентов по кредиту;

IAOкр – погашение кредита (тело кредита).

Таким образом, использование функций финансовой математики в практике оценки стоимости объектов недвижимости повышает ее обоснованность, а также эффективность принятия решений по инвестированию в недвижимость. При этом важнейшей характеристикой изменения ценности денежного потока является норма доходности. Сложность обоснования нормы доходности состоит в том, что она отражает с одной стороны интересы инвестора, а с другой ограничивается внутренними возможностями и внешними факторами.