Линейные диф-е уравн. n-го порядка

Частным случаем линейных однородных диф-ых уравн. являются ЛОДУ с постоянными коэф.

Пусть дано ЛОДУ 2-го порядка: y’’+p∙y’+q∙y=0

Для нахождения общего решения уравнения достаточно найти 2 его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения в виде y=ekx. Диф-уя эту ф-ю 2 раза и подставляя выражения для , в уравнеия, получим: k2∙ekx+p∙k∙ekx+q∙ekx=0

Получившееся ураснение наз. характеристическим ДУ.

30. Неоднородные линейные диф. уравнения 2-го порядка.

Общим решением y уравнения является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения ŷ=c1y1+c2y2 соответствующего однородного уравнения

y=y*+ ŷ

31. Метод Лагранжа…

y=y*+ ŷ

Частное решение y*уравнения можно найти, если известно общее решение ŷ соответствующего однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных.

32. Система линейных диф. уравнений…

Системой ДУ наз. совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые ф-ии и их производные. Решением системы наз. совокупность из n ф-ий y1, y2,…, yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Если в системе все ф-ии

fi(x; y1; …, yn) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по yi в некот. обл. D ((n+1)-мерного пространства), то в каждой т. M0( этой области сущ., и при том единственное, решение y1=φ1(x), y2=φ2(x), …, yn=φn(x) системы, удовлетворяющее начальным условиям.

Двойной интеграл. Основные понятия и определения.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ — обобщение ОИ на случай ф-ций 2-х переменных.

Пусть в замкнутой области D пл-ти Oxy задана непрер. z = f(x;y). Разобьем D на n частей Di, обозначим их площади через ∆Si, а диаметры — через di. В каждой Di выберем произв. т. Mi(xi;yi) и умножим значение f(xi;yi) в этой т. на ∆Si. Составим f(x1;y1)∆Si + f(x2;y2)∆Si + … + f(xn;yn)∆Sn = ∑ f(xi;yi)∆Si — интегральную сумму f(x;y). Рассм. lim, когда n → ∞, что maxdi → 0. Если этот lim Ǝ и не завис. от сп. разбиения D на части, ни от выбора точек в них, то он наз. ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ и опред. равенством:

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ Ф-ЦИИ: если ф-ция z = f(x;y) непрер. в D, она интегрируема в этой области.