Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші
Т-ма Ролля:
Якщо ф-я f(x) є С 
неперервна на відрізку 
диференційована в інтервалі 
і на кінцях відрізка приймає рівні значення, тоді 
принаймні одна точка С така, що 
(пох. в ній дор. 0).
1) 
2) 
3) 
Доведення : За ІІ теоремою Вейєрштраса всяка неперервна ф-я приймає своє наближене значення.
І) m=M, 
, f(x)=C=const, f′(x)=0
II) m<M, f(a)=f(b)
Найб. і найм. знач. не можуть досягти у внутрішній точці С 
, тоді за Т. Ролля 
.
Серед усіх дотичних до кривої у=f(x) 
принаймні одна паралельна до Ох.
Т-ма Лагранжа:Якщоф-я f(x) неперервна на відрізку 
, диференційована в інтервалі (a,b), і тоді т. С таке, що має рівність 
.
1) f(x), х 
2) 
Звідси випливає, що 
.
.
Ця ф-я задов. всім вимогам умови Ролля:
1) 
2о) 
3о) 
, тоді за Т. Ролля 
, 
,
Якщо дотична паралельна до січної, що сполучає точку А і В.
Ф-ла Лагранжа застос. до будь-якого відрізка 
або для будь-якого
. 
, 
, 
,
.(с-проміжна точка,
).
Теорема Коші.Якщо ф-я f(x) і φ(х) неперервні на відрізку 
, диференційовані в інтервалі (а,b) при чому φ´(x)≠0, тоді існує принаймні одна т.C, така, що має місце рівність: 
.
1о 
2о 
. Звідси випливає 
. Якщо покласти φ(x)=x, то 
.
Доведення: Введемо допоміжну ф-ю 
. Ця ф-я задовольняє всім вимогам теореми Ролля. Тоді за Т.Ролля 
, 
,
.
Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.
Необх. умова існув. екстремуму: Якщо 
є т. максимуму або мінімуму і в цій т. існує похідна, то ця пох.=0. Для дослідж. ф-ії на екстр. необх. знайти нулі 1-ї похідної і т. в яких вона не існує, дослід. зміну знака 1-ї пох. при переході через крит.точки.
Опуклість.
Крива задана р-м y=f(x) назив. вгнутою (опуклою) в т. 
, якщо існує такий 
окіл цієї точки, що для всіх х з цього околу відповідні точки кривої лежать під (над) дотичною, проведеної до кривої в т. 
.
т. 
назив. точкою перегину графіка ф-ії, якщо існують такий 
окіл цієї точки, що для всіх 
всі точки кривої лежать під (над) дотичною, а для всіх правих 
- над (під) дотичною.
Теорема. Нехай крива у=f(x) та існує такий 
-окіл т. 
, що фун-ія f(x) в околі цієї точки має похідні до другого порядку включно, при чому друга похідна в т. х є неперервна, тоді якщо f ”(x0)>0 – вгнута, f ”(x0)<0 – опукла.
Доведення: (розглянемо випадок)
Позначимо через у і х відповідно, У= f(x0)- f ‘(x)(х-х0);
у-У= f(x)- f(x0)- f ‘(x)(х-х0);
Запишемо формулу Тейлора для функції: 
-
, 
, 
. Якщо друга похідна додатна:
у-Y>0,у>Y,то крива вгнута. Якщо друга пох.<0,то крива опукла.
Асимптоти. Нехай задано y=f(x), f(x)-неперервна. Крива l назив. асимптотою графіка ф-ії y=f(x),якщо відстань від т.М кривої l до даної прямої прямує до нуля, коли т.М рухається в нескінченність, тобто 
. Асимптоти бувають: вертикальні( 
), горизонтальні( 
) і похилі( 
). 
. Якщо хоч одне b або k не існує, то крива не має асимптот.