Нахождение равнодействующей

Нахождение равнодействующей нескольких сил осуществляется с помощью правил векторного сложения: .

Пример 2. Две силы и приложены к одной точке и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис.1а). Найдите их равнодействующую.

ОТВЕТ. Модуль равнодействующей равен разности модулей и , то есть . Равнодействующая приложена в той же точке и направлена в сторону большей по модулю силы (рис.1б).

Пример 3. Две силы и приложены к одной точке О и направлены под углом друг к другу (рис.2). Найдите их равнодействующую.

ОТВЕТ. Согласно правилу параллелограмма, равнодействующая определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (рис.2б). В нашем случае модуль равнодействующей найдём по теореме косинусов: Направление равнодействующей определим посредством угла , который равнодействующая составляет с одной из заданных сил, например – с . В нашем случае по теореме синусов . Точка приложения равнодействующей совпадает с точкой приложения исходных сил.

Замечание. Вместо правила параллелограмма при сложении двух векторов часто пользуются правилом треугольника. Для рассмотренного выше примера 4 векторный треугольник будет иметь вид, как на рис.3, и угол между направлениями действия сил будет являться внешним углом треугольника.

Если нужно сложить более двух сил, приложенных в одной точке, то пользуются правилом многоугольника: из конца первой силы проводят вектор, равный и параллельный второй силе; из конца второй силы – вектор, равный и параллельный третьей силе и так далее. Замыкающий вектор, проведённый из точки приложения сил к концу последней силы, по величине и направлению равен равнодействующей. На рис.4 это правило проиллюстрировано на примере нахождения равнодействующей четырёх сил , , и . Заметим, что при этом складываемые векторы не обязательно должны принадлежать одной плоскости.

Пример 4. Три одинаковые по модулю силы , и приложены к одной точке, лежат в одной плоскости и направлены под одинаковыми углами попарно друг к другу (рис.5а). Найдите их равнодействующую.

ОТВЕТ. Равнодействующая этих сил равна нулю. Действуя по правилу многоугольника, получим на чертеже (рис.5б) замкнутый треугольник сил , и , и замыкающий вектор будет нулевым.

Пример 5. Три силы , и приложены в одной точке и направлены взаимно перпендикулярно друг другу (силы и лежат в горизонтальной плоскости, а сила направлена вертикально) (рис.6). Найдите равнодействующую.

ОТВЕТ. Сложение по правилу многоугольника даёт результат, изображённый на рис.6. Видим, что равнодействующая представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах , и как на рёбрах. Модуль равнодействующей, следовательно, равен . Направление равнодействующей определим с помощью углов и . Из рис.6б видим, что эти углы таковы, что . Точка приложения равнодействующей совпадает с точкой приложения исходных сил.

В ряде случаев удобнее производить сложение векторов «методом проекций».

Пример 6. Три силы , и приложены к одной точке , лежат в вертикальной плоскости и составляют углы , и с горизонталью соответственно (рис.7а). Найдите равнодействующую этих сил.

ОТВЕТ. Проведём две взаимно перпендикулярные оси и так, чтобы ось совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила . Спроецируем данные силы на оси координат (рис.7б). Проекции и отрицательны. Сумма проекций всех сил на оси равна проекции на эту ось равнодействующей . Аналогично для проекций на ось : . Модуль равнодействующей определяется по теореме Пифагора: . Направление равнодействующей определим с помощью угла , который составляет вектор равнодействующей и осью (рис.7в):

В начало