Абстрактное векторное пространство
Восемь свойств сложения и умножения, установленных в геометрической модели, позволяют построить арифметическую модель и называются аксиомами векторного пространства.
Рассмотрим примеры моделей, удовлетворяющих этим аксиомам.
Пример 1
Множество многочленов степени не выше 
образует векторное пространство, в котором мономы 
– базисные элементы, а коэффициенты многочлена 
– координаты вектора 
в этом базисе.
Пример 2
Пусть 
, 
,…, 
– « 
–местные наборы», 
имеет 1 на 
–м месте и нули на остальных местах, 
. Тогда объекты
образуют векторное пространство с базисными элементами 
. Обозначим это пространство 
.
Векторное пространство 
, позволяет определить размерность всякого векторного пространства 
при помощи следующей аксиомы.
9. Аксиома размерности. Существует изоморфизм 
.
Определение абстрактного векторного пространства
Пусть для элементов 
множества выполняется 8 аксиом векторного пространства и аксиома размерности. Тогда есть –мерное абстрактное векторное пространство, а 
является его арифметической моделью.
Элементы множества могут быть произвольной природы. Например:
выборки измерений 
;
цены 
наименований 
;
наборы продуктов, расстояния между заводом изготовителем и сырьевыми складами и т.д.
Следствие
Все –мерные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны.
Множество многочленов степени не выше в примере 1 образуют 
–мерное пространство. Изоморфизм, устанавливающий размерность, задается в этом случае так
, 
.
Здесь 
– мономы, а 
– базисные орты в .
Если векторное пространство содержит для всякого 
подмножество, 
, которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным , то назовем бесконечномерным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше образуют –мерные подпространства в этом пространстве.
Аксиомы скалярного произведения векторов
Модель –мерного пространства не содержит понятия длины вектора при 
. Для определения длины вектора в при воспользуемся связью между длиной вектора и скалярным произведением. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.
Напомним, что в геометрической модели трехмерного скалярного произведения задается представлением
. (4)
В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:
, 
;
, и 
; (5)
; 
.
Следствие
Из формулы (4) находим представление длины вектора через скалярное произведение
, 
. (6)
Если в качестве базиса выбрать векторы 
, то, используя свойства 1–3, можно найти координатное представление скалярного произведения
, 
(7)
Мы воспользовались тем, что 
, 
.
Следствие
Используя (6) и (7), заключаем, что
. (8)
Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (4) получили формулу длины вектора (8), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что: 1) скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (5) и 2) существование скалярного произведения в координатной модели 
установим формулой, аналогичной (7):
(9)
где 
, 
в .
Теперь согласно нашей схеме длина вектора определена формулой (6). Из (6) с учетом (9) получаем формулу длины вектора в –мерном арифметическом пространстве аналогичную (8) в виде
. (10)
Вывод 4
В трехмерном векторном пространстве длина вектора (8) находится благодаря теореме Пифагора. В абстрактном векторном пространстве размерности больше трех аксиомами (5) задается скалярное произведение, а длина выражается через скалярное произведение по формуле (6). В арифметической модели скалярное произведение существует в виде (9), а длина вектора определяется согласно формуле (10).
Определение
Абстрактное –мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам (5), называем –мерным векторным евклидовым пространством. Его координатная модель со скалярным произведением (9) называется декартовой моделью. (Рене Декарт (1596–1650) впервые ввел координатную модель трехмерного евклидова пространства).