Тема 2 ЗВЕДЕННЯ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ДО КАНОНІЧНОГО ВИГЛЯДУ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗАМІНИ ЗМІННИХ 2 страница
equ:= 
> eq:=lhs(equ);
eq:= 
Обчислюємо матрицю старших коефіцієнтів і її визначник
> A:= linalg[matrix](2,2,[coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)), coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2,coeff(eq, diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]);
> Delta:=simplify(linalg[det](A));
Оскільки визначник матриці старших коефіцієнтів 
, то тип рівняння еліптичний.
Формуємо характеристичне рівняння і розв’язуємо його.
>A[1,1]*z^2-2*A[1,2]*z+A[2,2]=0;res1:=solve(A[1,1]*z^2-
–2*A[1, 2]*z+A[2,2],z);
> res2:={seq(dsolve(diff(y(x),x)=res1[i],y(x)),i=1..2)};
Таким чином, ми одержали дві комплексні характеристики. Виконаємо заміну змінних.
> res2:=subs(d(x)=d,res2);
> {seq(solve(res2[i],_C1),i=1..nops(res2))};
> itr:= {xi=coeff(%[1],I),eta=%[1]-coeff(%[1],I)*I};
Тепер зводимо дане рівняння до канонічної форми
>tr:=solve(itr,{x,y});PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi], simplify)=0;
Приклад 2.8Знайти загальний розв’язок рівняння зі сталими коефіцієнтами
Розв’язування
Для розв’язання задачі використаємо стандартні засоби Maple. Задамо рівняння.
> a[1]:= 1;a[2]:=-2;a[3]:=-3;a[4]:=0;a[5]:=0;a[6]:=0;a[7]:=0;
> eq:=diff(u(x,y),x,x)-2*diff(u(x,y),x,y)-3*diff(u(x,y),y,y)=0;
eq:= 
Використаємо стандартну програму Maple - mapde(eq,canom). Ця програма перетворює початкове рівняння в простіше. Фактично, це ще один спосіб зведення заданого рівняння до канонічного вигляду.
> with(PDEtools):
> mapde(eq,canom);
&where 
> op(%);
,
Знайдемо тепер загальний розв’язок одержаного рівняння гіперболічного типу
> pdsolve(%[1]);
Повернемось до старих змінних
> sol:=u(x,y)=subs(%%[2],rhs(%));
Перевіримо знайдений розв’язок.
> simplify(subs(sol,eq));
> simplify(lhs(%));
Приклад 2.9Знайти загальний розв’язок рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Розв’язування
Для розв’язання задачі використаємо стандартні засоби Maple. Задамо рівняння.
> a[1]:= 1;a[2]:=-4;a[3]:=-5;a[4]:=0;a[5]:=0;a[6]:=0;a[7]:=0;
> eq:=diff(u(x,y),x,x)-2*diff(u(x,y),x,y)-3*diff(u(x,y),y,y)=0;
eq:= 
Використаємо стандартну програму Maple - mapde(eq,canom). Ця програма перетворює початкове рівняння в простіше. Фактично, це ще один спосіб зведення заданого рівняння до канонічного вигляду.
> with(PDEtools):
> mapde(eq,canom);
&where 
> op(%);
,
Знайдемо тепер загальний розв’язок одержаного рівняння гіперболічного типу
> pdsolve(%[1]);
Повернемось до старих змінних
> sol:=u(x,y)=subs(%%[2],rhs(%));
Перевіримо знайдений розв’язок.
> simplify(subs(sol,eq));
> simplify(lhs(%));
2.4 Розв’язування задачі Коші для рівняння коливання струни методом характеристик (формула Д’Аламбера)
Розрізняють три типи крайових задач для диференціальних рівнянь:
- Задача Коші для рівнянь гіперболічного та параболічного, типу у якій задаються тільки початкові умови;
- Крайова задача для рівнянь еліптичного типу у якій відсутні початкові умови;
- Змішана задача для рівнянь гіперболічного та параболічного типу, у якій ставляться як крайові, так і початкові умови.
Відмітимо, що методом характеристик називається метод розв’язування лінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку шляхом інтегрування їх канонічних форм.
Коливання струни описується рівнянням 
з початковими умовами 
, 
, де 
– початкове відхилення струни від положення рівноваги, 
– початкова швидкість точок струни.
Тоді рівняння характеристик такі:
та 
. (2.26)
Розв’язками рівнянь (2.26) будуть
та 
. (2.27)
Згідно з (2.27) потрібно ввести заміну
та 
. (2.28)
Враховуючи формули (2.4), рівняння коливання струни буде таке:
, (2.29)
або
. (2.30)
З рівняння (2.30) випливає, що
. (2.31)
Для знаходження функції 
проінтегруємо рівняння (2.31) за змінною 
, маємо
. (3.7)
Введемо позначення
. (2.32)
Враховуючи (2.33), (2.28) рівність (2.32) виглядатиме так
. (2.34)
Для того, щоб знайти функції 
та 
, скористаємося початковими умовами. Тоді
, (2.35)
. (2.36)
Рівність (2.36) можна переписати так
. (2.37)
Проінтегруємо (2.37) в межах від 0 до х, маємо
, (2.38)
звідки
. (2.39)
Позначимо 
, тоді з рівності (2.39) маємо:
. (2.40)
Таким чином, враховуючи (2.35) та (2.40), ми отримали систему для знаходження функцій та
. (2.41)
Системою розв’язків системи (2.41) буде
. (2.42)
Згідно з заміною (2.28) одержуємо
,
(2.43)
.
Підставивши рівності (2.43) у (2.34) знайдемо функцію 
. (2.44)
Формула (2.44) називається формулою Д’Аламбера.
У випадку, коли коливання струни описується рівнянням вигляду
(2.45)
з початковими умовами
, 
, (2.46)
де – початкове відхилення струни від положення рівноваги, – початкова швидкість точок струни, формула Д’Аламбера записується так
. (2.47)
Приклад 2.10 Знайти розв’язок задачі Коші за формулою Д’Аламбера 
за умови, що 
, 
.
Розв’язування
Згідно з формулою (2.44) знайдемо спочатку інтеграл
.
Тоді
.
Приклад 2.11 Знайти розв’язок задачі Коші за формулою Д’Аламбера 
за умови, що , 
.
Розв’язування
В даному випадку потрібно скористатись формулою (2.47).
Для цього обчислимо інтеграли
.
Оскільки 
, то
.
Приклад 2.12 Коливання струни описується рівнянням 
з початковими умовами 
, 
, де 
. Знайти розв’язок задачі Коші за формулою Д’Аламбера.
Розв’язування
За формулою Д’Аламбера 
.
Знайдемо спочатку інтеграл 
> Int(cos(z),z=x-at..x+at)=int(cos(x),x=x-at..x+at);
Тоді
Приклад 2.13 Коливання струни описується рівнянням 
з початковими умовами , , де 
. Знайти розв’язок задачі Коші за формулою Д’Аламбера.
Розв’язування
В даному випадку потрібно використати формулу
Для цього обчислимо інтеграли, які є складовими даної формули.
Розв’язуємо задачу в системі аналітичних обчислень Maple.
> a:=1;f(xi,eta):=6;
> with(student):
> 1/2*a*Doubleint(f(xi,eta),xi=x-t+eta..x+t-eta,eta=0..t);
> z:=value(%);
> psi(xi):=4*x;a:=1;
>d:=1/2*a*Int(psi(xi),xi=x-a*t..x+a*t)=1/2*a*int(psi(xi),xi=x-a*t..x +a*t);
Оскільки 
, то
Приклад 2.14 Коливання струни описується рівнянням з початковими умовами 
, 
, де 
, 
, 
, 
. Знайти розв’язок задачі Коші за формулою Д’Аламбера.
Розв’язування
Задамо рівняння.
> Eqn:=diff(u(x,t),t$2)-a^2*diff(u(x,t),x$2)=0;
Для розв’язання цього рівняння використовуємо процедуру pdsolve() і одержимо наступне.
> pdsolve(Eqn);
В даному випадку функції 
і 
є довільними двічі диференційованими функціями.. Таким чином, загальний розв’язок рівняння Eqn подається у вигляді суперпозиції двох функцій з відповідними аргументами. Відповідно, щоб повністю розв’язати задачу, необхідно визначити вид цих функцій. Функції визначаються із початкових умов. Але перш за все задаємо u ( ) як функцію двох параметрів x і t.
> u:=unapply(rhs(%),x,t);
Далі використовуємо те, що похідна по часу від функції 
в початковий момент дорівнює нулю.
Зауваження: похідна по другому аргументу функції обчислюється за допомогою оператора диференціювання з позначенням в квадратних дужках індексу змінної, по якій обчислюється похідна (D[2](u)).
> D[2](u)(x,0)=0;
Одержане таким чином диференціальне рівняння будемо розв’язувати відносно функції .
> dsolve(%,_F1(x));
Бачимо, що функції і з точністю до знака аргументу і константи _С1 співпадають. Константу можна прирівняти до нуля, а функцію _F1 позначити як F.
> _F1:=F;
> _F2:=x->F(-x);
Відповідно, шукати розв’язок рівняння потрібно в такому вигляді:
> u(x,t);
> u(x,0);
> f:=x->sin(x);
> F:=1/2*f;
> a:=1;
> u(x,t);
Тепер за допомогою процедури animate() відтворимо процес коливання струни (рис. 2.1-2.2).
>plots[animate](u(x,t),x=-10..10,t=0..15, view=-2..2, scaling= unconstrained, numpoints=100,titlefont=[HELVETICA,BOLD,12]);
 |
Коливання струни. Момент часу t=1c.
 |
Коливання струни. Момент часу t=4c.
Питання для самоперевірки
1. Як визначається тип лінійного диференціального рівняння другого порядку у частинних похідних?
2. Запишіть канонічну форму рівняння гіперболічного типу.
3. Запишіть канонічну форму рівняння еліптичного типу.
4. Запишіть канонічну форму рівняння параболічного типу.
5. Виведіть диференціальні рівняння характеристик для рівнянь гіперболічного типу.
6. Виведіть диференціальні рівняння характеристик для рівнянь еліптичного типу.
7. Виведіть диференціальні рівняння характеристик для рівнянь еліптичного типу.
8. Опишіть процедуру заміни змінних при зведенні до канонічного вигляду диференціальних рівнянь гіперболічного типу.
9. Опишіть процедуру заміни змінних при зведенні до канонічного вигляду диференціальних рівнянь еліптичного типу.
10. Опишіть процедуру заміни змінних при зведенні до канонічного вигляду диференціальних рівнянь параболічного типу.
11. Покажіть, що лінійне диференціальне рівняння другого порядку у частинних похідних в кожному класі можна звести до найпростішого (канонічного) вигляду.
12. Що називається методом характеристик?
13. Виведіть формулу Д’Аламбера.
14. Запишіть формулу Д’Аламбера для хвильового рівняння виду з початковими умовами , .
15. Дайте пояснення фізичного змісту загального розв’язку хвильового рівняння.
16. Розкажіть про коректність постановки задач математичної фізики.
17. Що таке початкові та крайові умови?
18. З чим пов’язана необхідність у формулюванні окрім рівнянь додаткових умов? Наведіть приклад.
19. Що називається задачею Коші? Для якого типу рівнянь ставиться задача Коші? Наведіть приклад.
20. Що називається крайовою задачею? Для якого типу рівнянь ставиться крайова задача? Наведіть приклади.
21. Що називається змішаною задачею? Для якого типу рівнянь ставиться змішана задача? Наведіть приклади.
Завдання для самостійної роботи
Завдання 2.1
Визначити тип рівняння і звести його до канонічного вигляду в кожній з областей, де зберігається тип розглядуваного рівняння.