Тема 2 ЗВЕДЕННЯ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ДО КАНОНІЧНОГО ВИГЛЯДУ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗАМІНИ ЗМІННИХ 4 страница
3.3 Розв’язання методом Фур’є першої крайової задачі
для рівняння поширення тепла у нескінченному стержні
Запишемо рівняння теплопровідності
, 
< х < 
, t > 0, (3.38)
де 
.
Для знаходження розподілу температур у необмеженому з обох кінців стержні крім рівняння (3.38) необхідно ще задати початкову умову, тобто потрібно задати температури усіх точок стержня в початковий момент часу t.
Нехай початкова умова має вигляд:
, < х < , (3.39)
де 
– задана абсолютно інтегровна для 
функція.
Необхідно знайти функцію 
, визначену для , t 
0, яка задовольняє рівняння (3.38) і початкову умову (3.39).
Для розв’язання рівняння (3.38) скористаємося методом Фур’є, тобто, будемо шукати функцію у вигляді добутку двох функцій, з яких одна залежить тільки від часу t, а друга – від координати х.
Отже,
. (3.40)
Підставимо цей розв’язок у рівняння (3.38), для чого спочатку обчислимо:
і 
.
Підставивши ці значення похідних у рівняння (3.38), отримаємо тотожність:
,
або
.
Ліва частина цієї тотожності залежить тільки від t, а права – тільки від х, тому ця рівність можлива за умови, що кожна частина її дорівнює невідомій поки що, сталій величині, яку позначимо через ( 
). Тоді:
. (3.41)
Звідки отримаємо два звичайні лінійні однорідні диференціальні рівняння для знаходження функцій T(t) і Х(х).
, (3.42)
. (3.43)
Загальний розв’язок рівняння (3.42) має вигляд:
, (3.44)
де С1 – невідома стала.
Загальний розв’язок рівняння (4.43) має вигляд:
, (3.45)
де С2, С3 – невідомі сталі, причому у цьому випадку вони залежать від 
, тобто 
, 
.
Підставивши значення (3.44) і (3.45) у розв’язок (3.22), ми отримаємо нескінченно незчисленну множину загальних розв’язків рівняння (3.20)
, (3.46)
кожен з яких відповідає деякому значенню довільного параметра з інтервалу 
.
Позначимо:
, 
.
Тоді
. (3.47)
Враховуючи те, що у випадку необмеженого стержня крайові умови відсутні, параметр набуває не дискретних значень, а всіх значень з інтервалу , то розв’язок рівняння (3.20) запишемо не у вигляді суми загальних розв’язків (3.47), а у вигляді інтеграла за :
. (3.48)
Правильність цього розв’язку можна перевірити шляхом безпосереднього підставлення (3.48) у рівняння теплопровідності (3.20).
Щоб задача була розв’язана однозначно, необхідно ще визначити невідомі функції 
і 
так, щоб функція (3.48) задовольняла початкову умову (3.21). Для цієї мети використаємо початкову умову (3.21), яка має вигляд:
,
і підставимо її у розв’язок (3.48), дістанемо:
. (3.49)
З другого боку, запишемо інтеграл Фур’є для функції :
. (3.50)
Порівнюючи рівність (3.49) з інтегральною формулою Фур’є для функції (3.50), знайдемо коефіцієнти 
і 
,
(3.51)
.
Підставимо значення і з (3.51) у (3.48), отримаємо:
тобто,
. (3.52)
Ми отримали розв’язок (3.52), який одночасно задовольняє і рівняння (3.20), і початкову умову (3.21).
Вираз (3.52) можна дещо спростити, оскільки внутрішній інтеграл можна обчислити. Крім того, враховуючи те, що в цьому інтегралі функції 
та 
- парні відносно , вираз (3.52) перепишемо так:
. (3.53)
Щоб обчислити внутрішній інтеграл у виразі (3.53), спочатку розглянемо та обчислимо декілька невласних інтегралів.
а) Інтеграл Ейлера-Пуассона
Обчислимо інтеграл
. (3.54)
Позначимо його так:
. (3.54/)
Введемо нову змінну, тобто покладемо 
, де 
– поки що сталий параметр, тоді 
. Інтеграл (3.54/) матиме вигляд:
. (3.55)
Почнемо тепер змінювати параметр 
і помножимо обидві частини рівності (3.55) на вираз 
, матимемо
,
або
.
Інтегруємо отримане рівняння за змінною в межах від 0 до
.
Але
.
Отже,
.
Змінимо в подвійному інтегралі порядок інтегрування, дістанемо:
. (3.56)
Обчислимо спочатку внутрішній інтеграл в (3.56)
.
Підставимо отримане значення в (3.56), матимемо:
.
Звідки
. (3.57)
б) Обчислимо тепер інтеграл:
,
тобто
. (3.58)
в) Розглянемо тепер такий інтеграл:
. (3.59)
Інтеграл (3.59) будемо вважати функцією від параметра 
і позначимо його 
, тобто:
. (3.59/)
Продиференціюємо (3.59/) за параметром , дістанемо:
.
Обчислимо інтеграл у правій частині отриманої рівності, використовуючи метод інтегрування частинами, дістанемо:
.
Отже,
.
Маємо диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:
.
Інтегруючи, матимемо:
,
звідки
. (3.60)
Знайдемо значення константи С. Нехай 
, тоді 
. З другого боку,
.
Отже,
.
Підставивши значення С в (3.60), матимемо:
. (3.61)
Використаємо інтеграл (3.61) для обчислення внутрішнього інтеграла у виразі (3.53), який має вигляд:
.
Покладаючи у внутрішньому інтегралі, який береться за замінною 
і 
,
дістанемо, що
.
Отже, розв’язок рівняння (3.20), що задовольняє початкову умову (3.21), матиме вигляд:
,
або
. (3.62)
Формула (3.62) є розв’язком поставленої задачі про розподіл температур у різні моменти часу для будь-яких точок необмеженого з обох кінців стержня, якщо відомий початковий розподіл температур.
Зауваження.Розглянуті задачі за своїм фізичним змістом – це охолодження нескінченного стержня з теплоізольованою бічною поверхнею, нагрітою попередньо до температури . Тому його температура є функцією, спадною у часі.
3.4 Приклади розв’язання задачі Коші для рівняння теплопровідності
Приклад 3.1 Знайти розв’язок рівняння теплопровідності.
, < х < 
, t>0 (3.63)
який задовольняє початкову умову
. (3.64)
Розв’язування
Скористаємося формулою (3.62), тобто запишемо розв’язок задачі (3.63), (3.64) у вигляді:
.
Перепишемо цей розв’язок так:
.
Використовуючи початкову умову (4.64), отримаємо:
,
. (3.65)
Розглянемо кожен з інтегралів і спростимо їх.
Підставимо отримані значення інтегралів у вираз (3.64), дістанемо
,
, (3.66)
де 
.
Знову розглянемо кожен з інтегралів у виразі (3.66). За властивістю адитивності маємо:
.
Оскільки
.
Аналогічно для другого інтеграла матимемо:
= 
.
Оскільки
,
а
=
= 
.
Тоді
,
тобто,
, (3.67)
де .
Зокрема, якщо 
, то:
, (3.68)
де .
Профіль температури в заданий момент часу 
визначається кривою
, (3.69)
де z є абсцисою точки, в якій визначається температура, якщо за одиницю довжини в залежності від 
береться значення 
, причому інтеграл 
називається функцією Лапласа. Для її обчислення складені таблиці для значень 
. Якщо 
>5, то покладають 
>5) = 0,5. Функція 
- непарна, тобто 
. 
, 
.
Формулу (3.67) для довільних 
можна подати у вигляді:
. (3.70)
Звідки видно, що в точці х = 0 температура весь час стала і дорівнює пів сумі початкових значень справа і зліва, оскільки 
.
Приклад 3.2 Знайти розв’язок задачі Коші
, 
< х < , t>0 (3.71)
. (3.72)
Розв’язування
Функція 
, яка задає початкову умову, абсолютно інтегровна, тому для відшукання 
можна застосувати формулу (3.62):
тобто,
, (3.73)
де
- функція Лапласа, причому 
.
Приклад 3.3 Знайти розв’язок рівняння коливання струни 
, яке задовольняє початкові умови 
, 
, коли 
та 
і крайові умови 
, 
.
Розв’язування
Визначимо рівняння.
> Eq:=diff(u(x,t),t$2)=a^2*diff(u(x,t),x$2);
Розв’язок будемо шукати методом розділення змінних.
> pdsolve(Eq,HINT=X(x)*T(t));
В одержаному результаті виконання команди вираження спочатку вказано, в якому вигляді шукається функція 
, а потім в квадратних дужках після ключового словаwhere перераховуються умови, яким задовольняють функції Х(х) і T(t).
Задаємо рівняння для функції Х(х), замінивши в ньому для зручності змінну середовища 
на 
.
> Eq1:=diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x);
Розв’язуємо це рівняння відносно Х(х), врахувавши початкові умови, а саме: оскільки U(0,t)=X(0)T(t)=0, то X(0)=0. Одержимо наступне.
> dsolve({Eq1,X(0)=0},X(x));
Параметр 
має бути таким, щоб виконувалась і умова X(l)=0. Але перш ніж розв’язувати відповідне рівняння (відносно ), присвоюємо змінній середовища 
, яка відповідає за пошук всіх розв’язків рівняння, значення 
.
> _EnvAllSolutions:=true;
> solve(sin(lambda*l)=0,lambda);
В цьому виразі змінна 
середовища " нумерує" власні числа.
Задамо залежність, яка визначає власні числа краєвої задачі.
> nu:=n->Pi*n/l;
Визначимо власні функції – такі функції, які відповідають власним числам задачі.
> X:=(x,n)->sin(x*nu(n));
Повертаємось до функції T(t), задаємо і розв’язуємо рівняння для неї.
> Eq2:=diff(T(t),`$`(t,2))=-a^2*lambda^2*T(t);
> dsolve({Eq2,D(T)(0)=0},T(t));
> T:=(t,n)->cos(nu(n)*a*t);
Розв’язок рівняння будемо шукати у вигляді ряду за власними функціями.
> U:=(x,t)->Sum(A[n]*X(x,n)*T(t,n),n=1..infinity);
Загальний розв’язок хвильового рівняння згідно з узагальненим принципом суперпозиції шукається за формулою:
> U:=(x,t)->Sum((C[n]*cos(a*Pi*n*t/l)+ +D[n]*sin(a*Pi*n*t/l))*sin(Pi*n*x/l),n=1..infinity);
> a:=1;l:=Pi;
> U(x,t);
