Формула свертки. Устойчивость нормального распределения

o Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Далее на примерах будет показано, как найти распределение функции по известным распределениям слагаемых. Такая задача часто встречается на практике. Например, если Х—погрешность показаний измерительного прибора (распределена равномерно), то возникает задача—найти закон распределения суммы погрешностей .

Случай 1.Пусть Х и Y—дискретные независимые случайные величины. Для того чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Иными словами, составляется ряд распределения случайной величины Z.

Пример 1. Дискретные независимые случайные величины Х и Y, заданы распределениями

Х
Р	0,4	0,6

Y
P	0,2	0,8

Составить распределение случайной величины Z=X+Y.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного

Свойство 3.

. Свойство 4.Функция F(x) непрерывна слева. (т.е.

). Свойство 5.Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.

. Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий.

. Найдем их вероятности

. Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то

. Отсюда

. § 12. Дискретные случайные величины. o Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т.е. Ωх—конечно или счетно. o Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (х_i, р_i), где x_i—возможные значения случайной величины, а p_i—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т.е.

, причем

. Простейшей формой задания дискретной случайной

1.рядом распределения

Х	x₁	x₂	…	x_n
Р	p₁	p₂	…	p_n
Y	φ(x)	φ(x)	…	φ(x)
P	p₁	p₂	…	p_n

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х
Р	0,2	0,5	0,3

Найти математическое ожидание функции .

Возможные значения Y:

; ; .

2. Пусть аргумент Х—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения р(х). Для нахождения математического ожидания функции можно сначала найти плотность распределения g(y) величины Y, а затем воспользоваться формулой: .

Если возможны значения , то .

Пример 4. Случайная величина Х задана плотностью в интервале (0, π/2); вне этого интервала р(х)=0. Найти математическое ожидание функции .

величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

X	x₁	x₂	…	x_n	…
P	p₁	p₂	…	p_n	…

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Ряд распределения можно изобразить графически. В этом случае по оси абсцисс откладывают значения x_i, а по оси ординат—вероятности p_i. Полученные точки соединяют отрезками и получают ломаную, которая является одной из форм задания закона распределения дискретной величины.

Пример. Рассмотрим следующую дискретную случайную величину

X
P	0,1	0,3	0,2	0,4

o Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), если она может принимать целые неотрицательные значения с вероятностями .

А) Если различным возможным значениям аргумента функции Y, то вероятность соответствующих значений X и Y между собой равны.

Пример 1. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х
Р	0,6	0,4

Найти распределение функции .

Решение. Найдем возможные значения Х:

, . Искомое распределение Y:

Y
P	0,6	0,4

Б) Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

Пример 2. Дискретная случайная величина Х задана распределением

Х	-2
Р	0,4	0,5	0,1

Найти распределение функции .

, .

Вероятность возможного значения y₁=4 равна сумме вероятностей несовместимых событий Х₁=-2, Х₂=2, т.е. 0,4+0,5=0,9. Вероятность возможного значения y₂=9 равна 0,1. Напишем искомое распределение Х.

Y
P	0,9	0,1

Пусть задана функция случайного аргумента Х. Требуется найти математическое ожидание этой функции, зная закон распределения аргумента.

Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина с

X			…	K	…	n
P			…		…	pⁿ

Пример. µ—число успехов в n испытаниях. µ имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p). Обозначают X~B (n,p), т.е. случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p).

o Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ (λ>0), если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями .

X			…	k	…
P			…		…

Обозначают , т.е. случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р (0<p<1) и, следовательно, вероятность его не появления q=1-p. Испытания заканчиваются как только появится событие А. Таким образом, если событие А появилось в k-ом испытании, то в предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось.

Обозначим через X дискретную случайную величину—число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями случайной величины Х являются натуральные числа.

Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не

тогда случайная величина Y—непрерывная и имеет плотность

. а) Пусть функция

возрастает. По определению

Продифференцируем обе части. Справа получим:

, слева—

, что и требовалось

. б) Пусть

убывает.

. Продифференцировав обе части,

. Покажем, как найти распределение функции случайного аргумента. Пусть аргумент Х—дискретная случайная величина

наступало, а в k-ом испытании появилось. Вероятность этого события .

o Говорят, что случайная величина Х имеет геометрическое распределение с параметром р (0<р<1), если она принимает натуральные значения с вероятностями , где q=1-p.

X				…	k	…
P	p	qp	q²p	…	q^k-1p	…

Очевидно, что вероятности появления значений 1,2,3… образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q (0<q<1).

Пример 1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р=0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

p=0,6; q=0,4; k=3. .

Пример 2. Монета брошена два раза. Написать ряд распределения случайной величины X—числа выпадений «герба».

Решение. Вероятность выпадения «герба» в каждом бросании монеты , вероятность того, что «герб» не появится .

При бросании монеты «герб» может появится либо 2, либо 1, либо 0 раз. Т.е. возможные значения Х таковы: х₁=0,х₂=1, х₃=2.

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

. Теорема 1. Пусть

—непрерывный случайный вектор. Тогда случайные величины

—непрерывны, причем

. Свойство 3.

, где

—множество из пространства IRⁿ. o Говорят, что случайный вектор

имеет равномерное распределение в области

, если она непрерывна и имеет плотность.

Если множество

. o Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х. Теорема 2. Пусть случайная величина Х непрерывна с плотностью

, а случайная величина

, где

—монотонная дифференцируемая функция,

;

Ряд распределения:

X
P	0,25	0,5	0,25

Пример 3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия(n-велико,p-мало).

По условию n=5000, p=0,0002, k=3. По формуле Пуассона , искомая вероятность .

Простейший поток событий.

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

o Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последствия и

Свойство 4.

. o Случайный вектор называется дискретным, если все его компоненты—дискретные случайные величины. o Случайный вектор

называется непрерывным, если существует неотрицательная функция

, называется плотностью распределения случайных величин

такая, что функция распределения

. Свойства плотности распределения случайного вектора. Свойство 1.

Свойство 2.

ординарности. o Поток событий называется стационарным, если вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t зависит только от k и t. Таким образом, свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1, 7), (10, 16), (Т, Т+6) одинаковой длительности t=6 единиц времени равны между собой. o Поток событий называется ординарным,если за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события. Таким образом, свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события в один и тот же момент времени практически равна нулю. Говорят, что поток событий обладает свойством отсутствия последствия, если имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени. Таким образом, свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появились или не появились события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при произвольном предположении о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (т.е. сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Следовательно, предыстория потока не сказывается на

§ 16. Системы случайных величин. o Вектор

, где

—случайные величины, называются n-мерным случайным вектором. Таким образом, случайный вектор

отображает пространство элементарных исходов Ω→IRⁿ в n-мерное действительное пространство IRⁿ. o Функция

называется функцией распределения случайного вектора

или совместной функцией распределения случайных величин

. Свойства функции распределения случайного вектора. Свойство 1.

. Свойство 2. Функция распределения случайного вектора неубывающая по каждому аргументу. Пусть x₁<y₁, тогда событие

. Тогда

. По свойству вероятности если

, то

, получим

. Т.е. функция не убывает по первому аргументу. Аналогично для любого аргумента. Свойство 3.

oвероятности появления событий в ближайшем будущем. o Поток событий называется простейшим или пуассоновским, если он стационарный, ординарный, без последствия. o Интенсивностью потока λназывают среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за промежуток времени длительности t определяется по формуле:

. Формула Пуассона. Эта формула отражает все свойства простейшего потока, поэтому ее можно считать математической моделью простейшего потока. Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим. По условию λ=2, t=5, k=2. По формуле Пуассона А)

—это событие практически невозможно. Б)

—событие практически невозможно, т.к. события «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов»—несовместимы. В)

—это событие практически достоверно. § 14. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х₁, Х₂,…,Х_n были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение

. Здесь

—совместимая плотность распределения случайных величин Х₁,…,Х_n, то есть совместимая функция распределения случайных величин Х₁,…,Х_n

. Предположим, что случайная величина

. Вероятность, что

. Пусть

, где

—функция Лапласа. Замечание. Необходимо отметить, что φ(t)—четная функция, т.е. φ(-х)=φ(х); функция Лапласа

—нечетная, т.е.

; функция стандартного нормального распределения N(x) обладает свойством N(x)+N(-x)=1.

Как известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание, которое приближенно равно среднему значению случайной величины.

o Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины Х через MX или М(Х). Если случайная величина Х принимает конечное число значений, то .

Если случайная величина Х принимает счетное число значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание дискретной случайной величины—это неслучайная величина (т.е. число, постоянная).

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная ее ряд распределения.

X
P	0,1	0,6	0,3

Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р.

показательное распределение

. Найти DX. ^.

. Таким образом,

. Теорема 1. Если случайная величина Х имеет нормальное стандартное распределение с параметрами (a, G²), то случайная величина

имеет нормальное распределение, т.е.

;

. Теорема 2. (Критерий независимости дискретных случайных величин). Для того чтобы дискретные случайные величины Х₁,…,Х_n были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных чисел х₁,…,х_n выполнялось соотношение

. Теорема 3. (Критерий независимости для непрерывных случайных величин).

Случайная величина Х—число появлений события А в одном испытании, может принимать значения х₁=1 (событие А наступило) с вероятностью р и х₂=0 ( А не наступило) с вероятностью q=1-p.

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности это события.

Свойства математического ожидания:

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(C)=C.

Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно, .

Замечание. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х определяется как дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(CX)=CM(X).

Если случайная величин Х имеет ряд распределения

X	x₁	x₂	…	x_n	…
P	p₁	p₂	…	p_n	…

Ряд распределения случайной величины СХ

СХ	Сx₁	Сx₂	…	Сx_n	…
Р	p₁	p₂	…	p_n	…

Математическое ожидание случайной величины СХ

. Математическоеожидание и дисперсия непрерывных случайных величин обладают теми же свойствами, что и для дискретных случайных величин. Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х, распределенной равномерно на [a, b]:

. Нашли, что

Пример 5. Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение X~N(a, G²). Найти дисперсию DX. X~N(a, G²). MX=a.

. Таким образом,

. Пример 6. Пусть случайная величина Х имеет

. o Случайные величины X₁,X₂,…,X_n называются независимыми, если для любых числовых множеств B₁,B₂,…,B_n

. Если взять B₁=]-∞, x₁[; B₂=]-∞, x₂[; …; B_n=]-∞,x_n[, то

—совместимая функция распределения случайных величин Х₁,Х₂,…,Х_n. Таким образом,

. Данное равенство также можно взять в качестве определения независимости случайных величин. Свойство 3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

. Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Свойство 4.Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых:

. Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

. Пример 2. Пусть случайная величина Х~N(a, G²).

Поскольку

. (интеграл от плотности φ(t)). Таким образом,

, т.е. смысл параметра а—математическое ожидание случайной величины Х. Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х, имеющей показательное распределение с параметром λ>0, т.е. X~M(λ)

Дисперсией непрерывной случайной величины Хназывается число

. Если случайная величина имеет плотность p(x),

Обозначим случайную величину Х—число очков, выпавших на первой кости, через Y обозначим число очков, выпавших на второй кости. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1,2,3,4,5,6, причем вероятность каждого из этих значений равна

. Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости.

. Очевидно, что

. Теорема 1. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

. Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁—число появлений события в первом испытании, Х₂—во втором,…, Х_n—в n-ом, то общее число появлений события

. По свойству 4:

. Согласно примеру 2

. Таким образом, получим

. o Дисперсией случайной величины называется число

. Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. Средним квадратическим отклонением случайной

o Любая функция (правило, характеристика), позволяющая вычислить вероятность того, что случайная величина Х принадлежит В—числовому множеству на прямой, т.е. P(X

B), называется законом распределения случайной величины Х. 1. F(x)—функция распределения является законом распределения любой случайной величины.

. 2. Ряд распределения дискретной случайной величины также является законом распределения дискретной случайной величины. 3. Плотность распределения непрерывной случайной величины p(x) является законом распределения непрерывной случайной величины.

. o Математическим ожиданием или средним значениемнепрерывной случайной величины Х с плотностью p(x) называется число

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно. Пример 1. Пусть Х имеет равномерное распределение на [a, b].

EMBED Equation.3

oвеличины Х называется число .

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана рядом распределения.

X
P	0,1	0,6	0,3

Ряд распределения случайной величины Х²

Х²
Р	0,1	0,6	0,3

Свойства дисперсии.

Свойство 1.Дисперсия постоянной величины С равна 0.DC=0.

Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Свойство 3.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

случайной величины имеет вид:

o Если случайная величина Х~N(0,1), то говорят, что случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение. В этом случае плотность обозначается

. Через N(x) обозначим

, где Х₀~N(0,1).

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:

. Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях.

, где Х_i—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.

. Т.к. MX₁=p.

, то

. Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда

. Пример. Проводятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X—числа появлений события в этих испытаниях. n=10; p=0,6; q=0,4.

. o Начальным моментом порядка к случайным величинам Хназывают математическое ожидание случайной величины Х^k:

. Таким образом

Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения. Ясно, что его можно определить, используя функцию распределения. Пример. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону

. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (0,3; 1). 1.

. 2.

. o Говорят, что случайная величинf Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G², если она непрерывна и имеет плотность

. Обозначение Х~N(a, G²), те Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G². График плотности нормально распределенной

. В частности,

. Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии

можно записать так:

. Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х-ХМ. o Центральным моментом порядка kслучайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)^k.

. В частности

. Следовательно,

. Исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить формулы:

. Моменты более высоких порядков применяются редко. Замечание. Моменты, определенные выше, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими. *********************************** § 15. Непрерывные случайные величины. Говорят, что случайная величина Х имеет плотность

Примером равномерно распределенной случайной величины может служить Х-координата точки, наудачу брошенной на [a, b]. o Говорят, что случайная величина Х имеет показательное (экопоненциальное) распределение с параметром λ>0, если она непрерывна и имеет плотность распределения

; обозначают Х~M(λ).

Найдем функцию распределения показательно распределенной случайной величины Х. а) x≤0

. б) x>0 EMBED Equation.3

oвероятности или плотность распределения вероятностей

, если существует функция p(x) такая, что функция распределения

(1). Пример. Нужно определить массу стержня длины l, если плотность массы равна p(x).

o Случайная величина называется непрерывной, если она имеет плотность распределения. Пусть р(х)—непрерывная функция. Тогда

Где

, α—бесконечно малая величина при Δх→0. Т.к.

, при Δх→0. Таким образом,

. Свойства плотности распределения. Свойство 1.

. Свойство 2.Плотность распределения—неотрицательная функция:

Поскольку F(x)—неубывающая функция, то F’(x)≥0. Следовательно

—неотрицательная функция. Геометрически это свойство означает, что график плотности распределения расположен либо над осью ох, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения. Свойство 3.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице:

. В формуле (1) подставим х=+∞,

. Поскольку

, то

. Свойство 4.Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В, равна интегралу по множеству В от плотности распределения.