Сложение одинаково направленных и взаимно перпенди-кулярных гармонических колебаний

Сложение нескольких колебаний одинакового r    
направления можно изображать графически с по- ω A    
мощью метода векторной диаграммы.      
Гармоническое колебание может быть пред- ϕ0    
ставлено графически с помощью вращающегося O x  
r Для этого из произвольной x  
вектора амплитуды A.    
точки О, выбранной на оси Ох, под углом ϕ0 , рав- Рис. 5.2.1    

ным начальной фазеr колебания, откладывается век-

тор амплитуды A. Модуль этого вектора равен амплитуде рассматри-ваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться

А по оси Ох и принимать значения от –А до +А, а

А2ϕ2     колеблющаяся величина изменяться со временем  
ϕ   по закону x = Acos(ωt + ϕ0).  
  А1   1. Сложение одинаково направленных гар-  
ϕ1   монических колебаний.  
     
х1 х2 х Сложим два гармонических колебания  
      одинакового направления и одинаковой частоты.  

х Смещение x колеблющегося тела будет суммой

 

Рис. 5.2.2


 


смещений x1 и x2 , которые запишутся следующим образом:  
x1= A1cos(ωt +ϕ1)и x2= A2cos(ωt +ϕ2). (5.2.1)

Представим оба колебания на векторной диаграммеr. Построим

 

по правилу сложения векторов результирующий вектор A. Проекция этого вектора на ось Ох равна сумме проекций слагаемых векторов x =

= x1 + x2 , следовательно, вектор A представляет собой результируюr-

щее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды A по теореме косинусов

 

A 2= A 2 + A 2 − 2 A A cos ϕ. (5.2.3)
 
Так как угол между векторами A1 и A2 равен ϕ = π − (ϕ2 − ϕ1),
         

то cos[π − (ϕ2 − ϕ1)] = −cos(ϕ2 − ϕ1), следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

A2= A2 + A2 + 2 A A cos(ϕ − ϕ ). (5.2.4)  
   
               

 

Определим начальную фазу результирующего колебания.

 

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего коле-

 

бания

 

tg ϕ= A1sinϕ1 + A2 sin ϕ2 . (5.2.5)  
A cosϕ    
  + A cos ϕ      
       
               

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колеба-ниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

 

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

 

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колеба-ния как вдоль оси X, так и вдоль оси Y. Выберем начало отсчета вре-мени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

 

x = A1cosωt,и y = A2cos(ωt +ϕ), (5.2.6)

 

где ϕ − разность фаз обоих колебаний.

 

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6)


 


 

параметр времени t: cos ωt = x , а sin ωt = 1 − cos 2 ω t =  
A  
     
     

ложим косинус во втором из уравнений (5.2.6) cos(ωt + ϕ) = cosωt · cosϕ + sinωt · sinϕ.

Тогда            
y = A2[cosω t ⋅cosϕ+sinω t ⋅sinϕ]= A2   x cos ϕ+ 1 − x2  
       
A A2  
         
             

Перепишем это уравнение в следующем виде


1 − x2 . Раз-

A12

 

 

(5.2.7)

 

 

sin ϕ . (5.2.8)


 

y = x cos ϕ+ 1 − x sin ϕ ⇒   y   − x cos ϕ= 1 −   x2 sin ϕ. (5.2.9)  
A A A2   A   A A2  
                                       
                                             
  После преобразования, получим                            
        y 2 − 2 y x cos ϕ+ x2 cos ϕ= sin ϕ − x2 sin ϕ. (5.2.10)  
                             
        A 2 A A A2     A2    
                                             
                                               

Используя тригонометрическое тождество cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1, окончательно получим

 

x 2 + y 2 − 2 x   y cos ϕ= sin ϕ. (5.2.11)  
A 2 A2 A A    
             
             

Это есть уравнение эллипса , оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эл-липса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и раз-ности фаз.

 

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму тра-ектории для них:

 

а) разность фаз равна нулю [ϕ = 0].

  x   y 2        
В этом случае −   = 0 , откуда получается уравнение прямой  
  A2  
  A1            
          y = A2 x . (5.2.12)  
          A  
                 
                 

Результирующее движение является гармоническим колебанием


 

 


вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой A = A2 + A2 .    
                                 
  2) разность фаз равна ±π [ϕ = ±π].          
а y A1   б –A1y         в y ϕ= − π  
    А   A2                        
                               
                            A2    
–A2   x                 x 0 A1 x  
                          –A2   ϕ= π  
  –A1                 A1        
  ϕ= 0           ϕ = π          
                       
                Рис. 5.2.3          
      x   y 2                        
  В этом случае + =0, откуда получается уравнение прямой  
  A1    
        A2                        
              y = − A2 x .       (5.2.13)  
              A        
                                 
                               
  3) Разность фаз равна ± π           π . Тогда        
    ϕ= ±          
                                 
              x 2 y2            
                  +   =1.       (5.2.14)  
                       
              A A            
                               

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответст-вующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний

 

эллипс вырождается в окружность. Случаи ϕ= + π2 и ϕ= − π2 отлича-

 

ются направлением движения. Если ϕ= + π2 , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x = A1 cosωt, и y = −A2 sinωt и движение со-

 

вершается по часовой стрелке. Если ϕ= − π2 , то уравнения колебаний

 

имеют следующий вид : x = A1 cosωt, и y = A2 sinωt и движение совер-шается против часовой стрелке.

 

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в.


 

 


4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных ко-лебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

 

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

 

y   y   y   y   y  
ϕ = 0 ϕ= π ϕ= π ϕ= 3 π ϕ = π  
   
      Рис. 5.2.4          

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по из-вестной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.