Длина свободного пробега и среднее число столкновений молекул идеального газа

  Молекулы газа, находясь  
d в тепловом движении, непре-  
рывно сталкиваются друг с дру-  
  гом. Под столкновением моле-  
  кул подразумевают процесс  
  взаимодействия между молеку-  
  лами, в результате которого мо-  
  лекулы изменяют направление  
Рис. 11.2.1 своего движения. Минимальное  
  расстояние d, на которое сбли-  
         

жаются при столкновении центры двух молекул, называется эффек-

тивным диаметром молекулы.Величинаσ=πd2называется эффек-

 

тивным сечением молекулы.Эффективный диаметр молекул зависитот их энергии молекул, а, следовательно, и от температуры. С повыше-нием температуры эффективный диаметр молекул уменьшается. Пред-положим вначале, что все молекулы, кроме выбранной, застыли непод-вижно на своих местах. Рассмотрим движение выделенной молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь пря-молинейно до тех пор, пока не столкнется с какой-либо другой непод-вижной молекулой. Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется на прямой, вдоль которой ле-тит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра моле-кулы. В результате столкновения молекула изменит направление сво-его движения, после чего некоторое время опять будет двигаться пря-молинейно, пока на ее пути не встретится молекула, центр которой бу-дет находиться в пределах цилиндра радиуса d (см. рис. 11.2.1). Число соударений с молекулами, происходящих за время t, равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь ломаного цилиндра длины l = υотн t и радиуса d.Гдеυотн−средняя скорость движения моле-

кул по отношению друг к другу (а не средней скоростью молекул отно-сительно стенок сосуда). Объем цилиндра можно считать равным

V = πd 2 υотн t . (11.2.1)
Если взять время t = 1 с, то объем будет равен  
V = πd 2 υотн . (11.2.3)


 


Умножив этот объем на число молекул в единице объема n, по-лучим среднее число столкновений молекулы за единицу времени (1 секунду)

 

z = πd 2υотн n . (11.2.4)

Найдем 〈υотн〉. Относительная скорость двух произвольно взятых молекул равна υотн = υ2 − υ1 . Возведя это соотношение в квадрат, по-

 

лучим: υотн2 = ( υ 2 − υ1 ) 2 = υ 22 + υ12 − 2 υ1υ2 . Среднее значение суммы не-скольких величин равно сумме средних значений складываемых вели-

чин. Поэтому υотн2 = υ 22 + υ12 − 2 υ1υ2 . Событие, заключающиеся

в том, что первая молекула имеет скорость υ1 , а вторая − скорость υ2 , являются статистически независимыми. Поэтому 〈υ1 υ2〉 = 〈υ1〉〈υ2〉. Для газа, находящегося в равновесии, каждый из этих сомножителей равен

нулю. Таким образом υ 2   = υ 2 + υ 2 = 2 υ2 . Полученный ре-
отн    
зультат означает, что υотн.ср.кв. = ср.кв. . Средние квадратичные ско-
рости пропорциональны средним арифметическим, следовательно
  υотн = 2 υ . (11.2.5)
Тогда среднее число столкновений за секунду  
z   = d 2 υ n . (11.2.6)

Средняя длина свободного пробега −это среднее расстояние,ко-

 

торое проходит молекула между двумя последовательными столкно-вениями. Если за время t = 1 c молекула проходит путь L = 〈υ〉t = 〈υ〉 и претерпевает при этом в среднем 〈z〉 столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна

λ = L = υ . (11.2.7)  
  z z    
Учитывая формулу (11.2.6) для среднего числа столкновений,  
окончательно получим          
λ =   . (11.2.7)  
d 2n  

В случае, когда длина свободного пробега молекул превышает


 

 


линейные размеры сосуда, говорят, что в сосуде достигнут вакуум. Газ в этом случае называют ультраразреженным. Хотя в буквальном смысле слова вакуум означает «пустоту», в ультраразреженном газе

 

содержится в единице объема большое число молекул. Так, при дав-лении в 106 мм. рт. ст. в 1 м3 находится примерно 1016 молекул. Более

 

того, в очень малых порах состояние , определяемое как вакуум, может быть достигнуто и при атмосферном давлении.

 

Поведение ультраразреженных газов отличается целым рядом особенностей. В вакууме молекулы обмениваются импульсами только со стенками сосуда, так что имеет смысл лишь понятие давления газа на стенку. Внутреннее трение в газе также отсутствует. Однако тело, движущееся в ультраразреженном газе, будет испытывать действие силы трения, обусловленной тем, что молекулы, ударяясь об это тело, будут изменять его импульс. Коэффициент теплопроводности оказы-вается в ультраразреженном газе пропорциональным плотности газа. Теплопередача от одной стенки к другой будет с понижением давле-ния уменьшаться, в то время как теплопроводность газа при обычных условиях не зависит от давления.

 



href="page-8-ref-89058.php">Далее ⇒