Найти максимум целевой функции L =4x+2y при следующих ограничениях:
Решение:
Построим область допустимых решений, которую обозначим буквой G . Для этого построим прямые, соответствующие уравнениям ограничений.
Каждое неравенство в системе ограничений определяет полуплоскость, причем эта полуплоскость содержит точку, координаты которой удовлетворяют соответствующему строгому неравенству.
Построим нормальный вектор целевой функции n = (4, 2). Его направление указывает направление возрастания целевой функции L(X ) = 4x + 2y.
Прямая с уравнением 4x + 2y = 0представляет собой «нулевую» линию уровня функции L =4x+2y. Эта прямая проходит через начало координат и перпендикулярна нормальному вектору n = (4, 2). Передвигаем эту прямую параллельно себе, или перпендикулярно n = (4, 2), и фиксируем два ее крайних положения.
Эти крайние прямые, которые обозначим буквами p и q , должны иметь с границей G либо общую вершину, либо общий отрезок, причем направление от p к q совпадает с направлением n = (4, 2). В рассматриваемом примере p проходит через точку A, а q – через точку B. Эти прямые называются соответственно нижней и верхней опорными прямыми для G.
Определим координаты точек A и B. На рис. видим, что точка A является точкой пересечения прямых 1) и 2), а B – 1) и 3).
A
-x+3y=9 → y=x/3+3
2x+3y=18→y=-2x/3+6
X=3
y=x/3+3=4
L(A) = 4*3+ 2*4=20
B
-x+3y=9 → y=x/3+3
2x-y=10→ y=2x-10
X=7,8
y=x/3+3=7.8/3+3=5,6
L(B ) = 4*7,8+ 2*5,6=42,4 – это максимум L
Решить задачу при дополнительном условии (ДУ):
ДУ: Найти минимум целевой функции L=2x+3y при тех же ограничениях
В данном случае имеем совпадение с отрезком AC.
Решаем совместно уравнения 2 и 3.
2x+3y=18→y=-2x/3+6
2x-y=10→ y=2x-10
-2x/3+6=2x-10
16=x (2+2/3)
x=6 y=2*6-10=2
L(B ) =2*7,8+ 3*5,6=32,4
L(С ) = 2*6+ 3*2=18 – это минимум L