Механічний та геометричний зміст похідної
Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:
1) Про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;
2) Про відшукання дотичної до вільної лінії.
Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб задана функцією відшукати іншу функцію
, яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції
щодо зміни аргументу.
У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу
. Вважаємо, що відстань S і час t – фізичні величини, які можна вимірювати.
Нехай за час від до
тіло пройшло шлях
. Тоді
Означення. Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою .
Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при
:
.
Означення. Миттєва швидкість тіла, що рухається вздовж лінії , називається похідна функції
за часом
:
.
Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.
Нехай дано функцію , графік якої наведено на рис. 1. Диференціальне відношення
дорівнює тангенсу кута β, утвореного січною, що проходить через точки А та В, які мають відповідно абсциси х та
, із додатнім напрямом осі Ох. Отже маємо:
.
Значення похідної в деякій точці дорівнює точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.