ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и

Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными прямыми измерениями.

Пусть требуется оценить значение величины Y , связанной с измеренными величинами X₁,...,X_k зависимостью: .

Необходимо найти оценку неизвестной величины (истинного значения) Y, если при обработке результатов прямых измерений получены оценки в виде средних арифметических значений величин .

Поскольку измеренные и истинные значения связаны между собой с помощью погрешностей измерений, то имеем:

,

где

Разложим полученные выражения в “k” - мерный ряд Тейлора, ограничиваясь тремя членами (второго порядка малости)

,

отсюда:

;

.

В большинстве случаев, когда не требуется высокая точность, ограничиваются членами первого порядка малости

Примечание: Складываются абсолютные значения.

Вычислим дисперсию оценки величиныY.

Рассмотрим величину

В случае, когда i = j значение r = 1 и

Таким образом, дисперсия оценки математического ожидания результатов косвенных измерений будет равна:

или

Для независимых величин x₁,...,x_k , когда статистическая дисперсия будет равна:

Для СКО при отсутствии корреляции имеем

,

если случайные величины коррелированны, то

Погрешности при косвенных измерениях вычисляют по формулам: при отсутствии корреляции между случайными величинами

;

при коррелированных значениях случайных величин

.

Данные формулы широко применяются при расчете погрешностей измерений.

Величины - называются частными погрешностями.

Например для функции от двух переменных z=f(x,y) при отсутствии корреляции r_xy = 0 , погрешность результата измерений вычисляется по формуле:

,

где – погрешности переменных x и y ;

- частные производные функции по переменным , соответственно;

- частные погрешности .