ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ. Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и
Косвенными измерениями называются измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, полученными прямыми измерениями.
Пусть требуется оценить значение величины Y , связанной с измеренными величинами X1,...,Xk зависимостью: .
Необходимо найти оценку неизвестной величины (истинного значения) Y, если при обработке результатов прямых измерений получены оценки в виде средних арифметических значений величин .
Поскольку измеренные и истинные значения связаны между собой с помощью погрешностей измерений, то имеем:
,
где
Разложим полученные выражения в “k” - мерный ряд Тейлора, ограничиваясь тремя членами (второго порядка малости)
,
отсюда:
;
.
В большинстве случаев, когда не требуется высокая точность, ограничиваются членами первого порядка малости
Примечание: Складываются абсолютные значения.
Вычислим дисперсию оценки величиныY.
Рассмотрим величину
В случае, когда i = j значение r = 1 и
Таким образом, дисперсия оценки математического ожидания результатов косвенных измерений будет равна:
или
Для независимых величин x1,...,xk , когда статистическая дисперсия будет равна:
Для СКО при отсутствии корреляции имеем
,
если случайные величины коррелированны, то
Погрешности при косвенных измерениях вычисляют по формулам: при отсутствии корреляции между случайными величинами
;
при коррелированных значениях случайных величин
.
Данные формулы широко применяются при расчете погрешностей измерений.
Величины - называются частными погрешностями.
Например для функции от двух переменных z=f(x,y) при отсутствии корреляции rxy = 0 , погрешность результата измерений вычисляется по формуле:
,
где – погрешности переменных x и y ;
- частные производные функции по переменным , соответственно;
- частные погрешности .