АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПОЛИНОМАМИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
(Подбор эмпирических зависимостей)
7.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА
Автоматизация метрологических исследований требует определения и использования для математической обработки результатов измерения единых методов, удобных при работе с вычислительной техникой. Одной из ключевых проблем является представление результатов метрологических исследований с использованием ЭВМ, например, при совместных измеренияхдля определения зависимости между двумя или несколькими неодноименными величинами.
Из широкого круга задач рассматривается только наиболее часто встречающаяся задача аппроксимации, которая сводится к поиску аналитической зависимости в виде эмпирической формулы для случая, когда значения функции получены из наблюдения с некоторой погрешностью и представлены в табличной форме.
Одним из известных методов, применяемых для решения этой задачи, является метод наименьших квадратов (МНК) и его разновидность - аппроксимация функции ортогональными полиномами (МНКОП), которая была разработана Дж. Форсайтом [48, 55]. Одним из преимуществ данного метода является возможность автоматизации при выборе числа параметров функции (степени полинома), а также возможность дальнейшей автоматизации и использование других видов функций отличных от полиномов.
Указанный метод МНКОП рекомендуется также ИСО в ряде документов [Н15, Н16].
В данной главе мы изложим метод Форсайта, а также покажем как можно распространить данный метод на многомерный случай.
Искомое уравнение регрессии представляют в виде полинома [6 - 9, 12, 20, 21, 28, 29]
(7.1)
где n - степень полинома; 
- коэффициент полинома при i-ой степени аргумента x.
Мерой приближения выбранной зависимости к полученным экспериментальным значениям принимают сумму квадратов разностей экспериментальных значений 
и вычисленных значений регрессии 
в N узловых точках 
, в связи с чем метод получил свое название метода наименьших квадратов.
При метрологических исследованиях результаты измерения могут быть получены с индивидуальной различной погрешностью, поэтому степень доверия к ним также различна. Математически это обстоятельство учитывается введением весовой функции
(7.2)
которую обычно выбирают произвольно (см. ниже).
Таким образом, задачу сводят к выбору параметров (коэффициентов полинома ), которые минимизируют функционал
(7.3)
где N - число точек наблюдения.
Аппроксимирующий полином 
можно также представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов [21, 26, 27, 53]
(7.4)
где 
- числовой коэффициент;
- ортогональный полином i-ой степени с коэффициентом при старшем члене, равном единице.
Условие ортогональности записывают в виде
(7.5)
Для нахождения коэффициентов при ортогональных полиномах подставляют в уравнение (7.3) выражение (7.4) и, приравнивая к нулю частные производные по , получают нормальную систему уравнений:
(7.6)
где i = 0,1,...,n . Отсюда с учетом условий ортогональности получают
(7.7)
где j = 0,1,...,n.
Для построения ортогональных полиномов принимают 
, а остальные ортогональные полиномы ищут из уравнения
(7.8)
где 
- некоторый коэффициент.
Из условия ортогональности выражения (7.5) имеют число уравнений "k" для определения , откуда
(7.9)
Можно показать, что только два члена 
и 
, вычисленные по формуле (7.9) , будут не равны нулю.
Представив 
в виде линейной комбинации ортогональных полиномов
(7.10)
и применив к произведениям, стоящим в числителе формулы (7.9),условие ортогональности , получают следующие выражения для коэффициентов:
(7.11)
Матрица коэффициентов 
ортогональных полиномов имеет вид
В результате получают следующие формулы для вычисления ортогональных полиномов:
(7.12)
Аппроксимирующий полином вычисляют по формуле (7.4) или по следующей формуле
(7.13)
Вычисление коэффициентов ортогональных и аппроксимирующего полиномов производится следующим образом.
Если расписать младшие ортогональные полиномы и привести подобные члены, то ортогональный полином k-й степени 
будет иметь вид
(7.14)
где 
- числовой коэффициент при j-й степени аргумента ортогонального полинома k-й степени.
Сравнивая выражения (7.12) и (7.14), можно получить следующие формулы для вычисления коэффициентов ортогональных полиномов:
Матрицы коэффициентов ортогональных полиномов имеют треугольный вид с единицами по главной диагонали
Коэффициенты аппроксимирующих полиномов вычисляют по формулам
Матрица коэффициентов аппроксимирующего полинома также имеет треугольный вид с коэффициентами 
по главной диагонали..
Построение функции регрессии с помощью описанного метода является основным, и он широко используется для решения различных метрологических задач [12].
Для реализации этого метода обычно составлены программы для ЭВМ, например подпрограмма OR [12]. Подпрограмма OR используется также при выборе эмпирических зависимостей для математического описания линии регрессии функциями отличными по своему виду от полиномов [10].