АППРОКСИМАЦИЯ МНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ МНОГОМЕРНЫМИ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПОЛИНОМАМИ
Рассмотрим вопрос об аппроксимации функции многих переменных, значения которой заданы в табличной форме, ортогональными полиномами методом наименьших квадратов [11].
Предположим, что в результате наблюдений получена таблица значений функции от n аргументов в N точках с некоторой погрешностью
(7.15)
где и пусть число точек N достаточно велико.
Найдем полином k-й степени от n переменных, минимизирующее выражение
(7.16)
где - весовая функция.
Употребляя обозначения Гаусса (вместо символа для обозначения суммирования по числу N точек следует писать квадратные скобки, а индексы опускать), выражение (7.16)запишем следующим образом:
(7.17)
Функцию ищем в виде
(7.18)
где - ортогональный полином i-й степени.
Запишем условие ортогональности
(7.19)
Из условий (7.19)следует, что
при
(7.20)
Подставляя (7.18) в (7.20), учитывая условие ортогональности , найдем коэффициент а.
(7.21)
Обратимся к построению ортогональных полиномов. Положим , а
распишем для общего случая
(7.22)
Пронумеруем коэффициенты и
. Для этого представим индексы
как числа в (k+1)-ой системе счисления, расположим их в возрастающем порядке и пересчитаем. Всего коэффициентов
будет
(в дальнейшем будем их обозначать через
где
), а коэффициентов
будет
(в дальнейшем будем их обозначать
, где
).
Также поступим с произведениями
(7.23)
где индекс соответствующих коэффициентов
.
Перепишем (7.22) в новых обозначениях:
(7.24)
Из условия ортогональности имеем уравнений для определения
неизвестных коэффициентов
и
.
, (7.25)
где , или в развернутом виде
.
В дальнейшем под символом будем понимать матрицу, составленную из элементов
, в которой m-й столбец заменен элементами
.
При введенных обозначениях из системы (7.25) получаем коэффициенты в следующем виде:
(7.26)
ортогональный многочлен - в виде
(7.27)
где
(7.28)
Найдем коэффициенты , для чего подставим (7.27) в (7.25)
(7.29)
где
(7.30)
Дифференцируя F по и приравнивая производные нулю, получим нормальную систему линейных уравнений
(7.31)
где откуда
(7.32)
Таким образом, ортогональные полиномы и аппроксимирующий многочлен определяются из формул (7.18), (7.27), (7.28), (7.30), (7.32).