Лекция№3. Представление сигналов с ограниченной полосой частот в виде ряда Котельникова
В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре функции меньше, чем
, то функция
полностью определяется последовательностью значений в момент времени, отстоящие друг от друга не больше чем на
секунд.
В соответствии с этой теоремой сигнал ограниченный по спектру наивысшей частотой
, можно представить рядом
(3.1)
В этом выражении обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а
-выборка функции
в момент времени
.
Представление функции рядом иллюстрирует рис.3.10:
рис.3.1
Функция вида
(3.2)
обладает следующими свойствами:
1. в точке
, а в точках
, где
- любое целое положительное или отрицательное число, отличное от
2. спектральная плотность функции равномерна в полосе частот
и равна
.
Так как функция отличается от
только сдвигом на оси времени на
, то спектральная плотность функции
(3.3)
Ряд (3.1) точно определяет заданный сигнал в точках отсчета, поскольку коэффициенты ряда есть сами выборки из функции, т.е. величины
.
Рассмотрим случай когда длительность сигнала конечна и равна
, а полоса частот равна
. При этом случае и определенных допущениях общее число независимых параметров (т.е. значений
), которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно будет
При этом выражении (3.1) принимает вид (при отсчете времени от первой выборки):
(3.4)
Число иногда называют числом степеней свободы сигнала
, а иногда и базой сигнала.
Энергию и среднюю мощность сигнала нетрудно выразить через заданную последовательность временных выборок.
Средняя за время мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату выборки, число которых равно
.