Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства)
1) Определение односторонней непрерывности.
В определении непрерывности функции в точке х0 требуется существование 
и равенство 
. С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:
Опр.. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева, если 
.
Опр. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа, если 
.
Опр. Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв, соответственно, слева или справа.
Если функция определена на отрезке [a,b], то в левом конце отрезка х0= a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце (х0= b) - о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа
2) Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
3) Теорема Больцано — Коши
Пусть дана непрерывная функция на отрезке 
Пусть также 
и без ограничения общности предположим, что 
Тогда для любого 
существует 
такое, что 