Теорема Лагранжа
Теорема. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке
и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка
, что
![]() | (13) |
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке , а на его концах принимает одинаковые значения:
Тогда удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка
, в которой производная функции
равна нулю:
Следствие 1. В частном случае, когда , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка
, в которой производная функции
равна нулю:
. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.
Следствие 2. Если во всех точках некоторого промежутка
, то
в этом промежутке.
Действительно, пусть и
– произвольные точки промежутка
и
. Применяя теорему Лагранжа к промежутку
, получим
Однако во всех точках промежутка
. Тогда
Учитывая произвольность точек и
, получаем требуемое утверждение.