Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация
1) Определение. Производной функции 
называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
2) Геометрическая интерпретация
Обратимся к рисунку 1, на котором представлен фрагмент графика функции 
.
Рис. 1. Секущая AB образует угол β с положительным направлением оси 0x. Касательная к графику функции проведена в точке A.
Угловой коэффициент секущей AB равен средней скорости изменения функции 
на промежутке [x, x + ∆x]:
| (5) |
Предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A по дуге кривой является касательная к графику в точке A. Поэтому угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей при ∆x → 0:
| (6) |
Рис. 2. Касательная является предельным положением секущей AB при перемещении точки B к точке A.
Таким образом, производная 
в точке x равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в этой точке с положительным направлением оси 0x.
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + 
точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) -x ( t0 ) = 
, а её средняя скорость равна:va = / . При 
0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0) = x’ ( t0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).