Дополнительное задание 8
8.19. Вектор a составляет с осями Ox и Oy углы a = 60° и b = 120° . Найти его координаты, если |a| = 2.
8.20. При каких значениях a и b векторы a = – 2i + 3j + ak и
b =bi – 6j + 2k коллинеарны?
8.21.Найти направляющие косинусы вектора a = (14, 2, – 5).
8.22.Являются ли линейно зависимыми следующие системы векторов:
а) (10, 25) и (2, 5); б) (1, 2, 3) и (4, 5, 6); в) (3, 2), (6, 5) и (12, 12);
г) (5, 2, 1), (– 1, 3, 3) и (9, 7, 5).
8.23. Представить вектор d = (4; 12; – 3) как линейную комбинацию векторов a = (2; 3; 1), b = (5; 7; 0) и c = (3; – 2; 4).
8.24.Даны три вектора a = (2, – 1), b = (1, 2), c = (4, 3). Найти разложение вектора m = a + b + c по векторам a и c.
8.25. Луч образует с двумя осями координат углы в 60°. Под каким углом наклонен он к третьей оси?
8.26. На оси Ox найти точку M, расстояние которой от точки A(3, – 3) равно 5.
8.27.Даны вершины треугольника A(3, 1, 5) и векторы 
= (1, – 1, 2),
= (2, 2, 3), совпадающие с его сторонами. Найти остальные вершины и длину стороны AC.
Ответы к занятию 8
8.1. а)|a| = 
, a0 = (– 1/ , 2/ , 0); б) 2/ ; в) – 19/3; г) 0.
8.2. x = – 5i + 10j + 10k.8.3.(14/27, 22/27, 7/27).8.4. а)линейно зависимы;
б)линейно независимы; в)линейно зависимы;г)линейно зависимы.
8.5. 2a + 3b.8.6. d = – 2a + b – c.8.7. C(6, – 2), D(2, – 4).
8.8. 7. 8.9. (–1, 2, 4) и (8, – 4, – 2).
8.10. a) (2/ 
, 3/ , 0); б) (3, 11/2, 0); в) – 2j; г) 6. 8.11. x = 2i + 2j + 2k.
8.12.(13/23, – 6/23, 18/23).8.13. а)линейно независимы;б)линейно зависимы; в)линейно зависимы;г)линейно независимы. 8.14. – b + 2c.
8.15. c = 
a 
b. 8.16. D(9, – 5, 6). 8.17. M(0, 1, 0). 8.18. (4, 0) и (5, 2). 8.19.(1, – 1, ± 
). 8.20.a = – 1, b = 4. 8.21.(14/15, 2/15, – 5/15).
8.22. а)линейно зависимы;б)линейно независимы; в)линейно зависимы;
г)линейно зависимы. 8.23. d = a + b – c. 8.24. 
a + 
c. 8.25. 45°.
8.26.(7, 0) и (– 1, 0).8.27.B(4, 0, 7), C(6, 2, 10), AC = 
.
Занятие 9. Скалярное произведение двух векторов
Изучаемый материал: определение скалярного произведения, его физический смысл и свойства; выражение в декартовых координатах; условие ортогональности двух векторов; скалярный квадрат; угол между двумя векторами.
| 1. Скалярное произведение в произвольном базисе | 9.1 - 9.4 | 9.9 - 9.12 | 9.16 - 9.19 |
| 2. Скалярное произведение в декартовых координатах | 9.5 - 9.8 | 9.13 - 9.15 | 9.20 - 9.22 |
9.1. Дано: |a| = 3, |b| = 4, Ð(a, b) = 2p/3. Вычислить: a) a2; б) (3a – 2 b)(a + 2b).
9.2. Найти угол, образованный единичными векторами e1 и e2, если известно, что векторы a = e1 + 2e2 и b = 5e1 – 4e2 ортогональны.
9.3.Вычислить a · b, если a = 2m – n, b = 2m + 3n, где m и n - единичные ортогональные векторы.
9.4. Дано: |a| = 3, |b| = |c| = 2, векторы a и b ортогональны, а вектор c образует с ними углы, равные π/3. Вычислить (3a + b) · (2а – c).
9.5.Вычислить скалярное произведение векторов: a = 2i – 3j + k и b = – i + j.
9.6.Найти внутренний угол при вершине A треугольника ABC, если
A (– 1, 2), B(1, 1), C(3, 2).
9.7.Треугольник имеет вершины A (4, 2, 2), B(1, – 1, 0), C(3, 2, 4). Найти проекцию стороны AB на сторону AC.
9.8.Даны векторы a = – 2i + k, b = i + j + 3k, c = 4i – j + 5k.
Найти прa(b – 2c), прb+ca.