ЗМ 4. Визначення вартості грошей у часі
Нарощування та дисконтування за процентними ставками
Нагромаджені грошові кошти, як і інші активи, можуть приносити підприємству певний прибуток шляхом їх передачі позичальникам чи емітентам. У зв’язку з цим розрізнять теперішню (інвестовану) вартість грошей (PV) та майбутню їх вартість (FV), яка перевищує теперішню на суму отриманого (сплаченого) прибутку.
Інвестування може здійснюватися на різних умовах: за процентними та обліковими ставками, простими чи складними ставками, до року або більше року, платежі (виплати) можуть здійснюватися один або декілька разів на рік.
Процентні (r) та облікові (d) ставки визначаються відношенням прибутку, який забезпечує власникові грошей їх вкладання, до номінальної вартості коштів (Сн). Для процентних ставок Сн=PV, а для облікових Сн=FV.
Тоді:
(4.1)
(4.2)
За простими ставками для зароблення прибутку позичальник користується коштами, що дорівнюють теперішній їх вартості. Тому періодично він сплачує інвестору дохід, визначений умовами позичання грошей.
За складними ставками інвестор отримує більший прибуток (при всіх інших рівних умовах), оскільки позичальник сплачує йому дохід в кінці строку кредитування, а отже, використовує для отримання прибутку як первісно інвестовані кошті, так і дохід інвестора (капіталізований дохід).
Нижче наведені формули для розрахунку майбутньої вартості грошей, (процес нарощування), та теперішньої їх вартості (процес дисконтування) за процентними ставками.
Нарощування за простими процентними ставками
Нарощування більше року
Шляхом перетворення формули (4.1) маємо
де n – кількість років нарощування.
Нарощування до року
Тоді 
.
де t – кількість днів нарощування (тривалість місяця 30 днів; перший і останній день кредитування рахують як один день).
Нарощування за складними процентними ставками
Нарощування більше року
Нарощування до року
Якщо нарощування здійснюється m раз на рік, то
Дисконтування за процентними ставками
- простими
- складними
4.2.Нарощуваннята дисконтування за обліковими ставками
Формулу для розрахунку теперішньої вартості грошей за простою обліковою ставкою отримаємо шляхом перетворення формули (4.2):
Тоді
За складною обліковою ставкою
Еквівалентні ставки
Вартістю грошей для кредитора і позичальника є річна рентабельність їх вкладання. Ставки, що забезпечують однакову рентабельність (дохідність) вкладання грошей для інвестора,є еквівалентними. Виникає питання, яка ставка процентна чи облікова, проста чи складна дорівнюють рентабельності вкладання грошей? Для відповіді на нього звернемося до прикладу.
Приклад 4.1. Визначити рентабельність (R) для такої інвестиції: номінальна вартість 100 грн.; строк інвестування 2 роки; ставка 10%.
1) Ставка є простою процентною
або 10 %;
2) Ставка є складною процентною
або 10,5 %
3) Ставка є простою обліковою
або 12,5 %
4) Ставка є складною обліковою
або 11,7 %
Отже, рентабельність вкладання грошей дорівнює простій процентній ставці.Тому для визначення рентабельності любої інвестиції достатньо порахувати просту проценту ставку, еквіваленту тій, за якою здійснюється інвестиція. Як це зробити, ілюструє наступний приклад.
Приклад 4.2. Облігація номіналом 2000 грн. розміщена на 4 роки під складну проценту ставку 15 %. Складемо тотожність, що визначає рентабельність інвестиції за складною і простою ставками.
.
Після перетворення маємо рівняння:
Після розв’язку рівняння визначаємо просту процентну ставку r=18,7 %.
Як бачимо, для визначення еквівалентних ставок достатньо прирівняти множники нарощування. Обмеженням тут є те, що номінальна вартість цінних паперів повинна бути однаковою.
Фінансова рента
Фінансова рента – це потік платежів (виплат), часовий інтервал між якими є однаковим.
Параметри ренти є:
- член ренти (Р) – величина окремого платежу;
- період ренти – часовий інтервал між членами ренти;
- строк ренти (n) – період від початку до закінчення ренти.
Фінансову ренту характеризують такі узагальнюючі показники як її майбутня (FVр) і теперішня вартість (PVр):
Для постійної звичайної ренти (з постійним членом і платежем (виплатою) в кінці періоду ренти) узагальнюючі показники рахуються за такими формулами:
(4.3)
(4.4)
Для довічної ренти (з невизначеним строком) рахується тільки її теперішня вартість за формулою
.
Література:13,14,16,17,21.
Контрольні питання
1. Що представляє собою процес (1) нарощування, (2) дисконтування?
2. Чим відрізняється проста ставка від складної?
3. Як визначається майбутня вартість грошей за простою процентною ставкою при нарощування (а) до року, (б) більше року?
4. Як визначається майбутня вартість грошей за складною процентною ставкою при нарощування (а) до року, (б) більше року?
5. Як визначається теперішня вартість грошей за простою та складною процентною ставкою?
6. Яка вартість: майбутня чи теперішня – визначає номінальну вартість боргових цінних паперів з (а) простою, (б) складною ставкою?
7. Як визначаються теперішня та майбутня вартості за простою та складною обліковою ставкою?
8. Що представляють собою еквівалентні ставки?
9. Що представляє собою вартість грошей для позичальника і кредитора?
10. Як визначається рентабельність вкладання грошей? Якій ставці вона дорівнює?
11. Як визначаються еквівалентні ставки?
12. Що представляє собою фінансова рента?
13. Назвіть параметри фінансової ренти.
14. Як визначається теперішня та майбутня вартість для постійної звичайної ренти?
15. Як визначається вартість довічної ренти?
Вправи для самостійної роботи
Вправа 5.1. Яку суму коштів отримає власник 150 облігацій зі складною процентною ставкою при їх погашення, якщо Сн= 200 грн., n= 3 роки; r= 11 %. Відповідь – 41028,93 грн.
Вправа 5.2. Облігація з номінальною вартістю 1000 грн. придбана за 980 грн. При її погашенні через чотири роки власник отримав 1500 грн. Який рівень простої процентної ставки встановлено по цій облігації?
Відповідь – 12,5 %.
Вправа 5.3 Яку суму повинен повернути банку позичальник 40 тис. грн., отриманих на строк 280 днів під 19 % (проста процентна ставка).
Відповідь – 45911,1 грн.
Вправа 5.4. Скільки коштів необхідно покласти на строковий банківський депозит, щоб через три роки отримати 3000 грн. за складною процентною ставкою 15 %?
Відповідь –1972,52 грн.
Вправа 5.5. Якою є майбутня вартість 10 тис. грн., якщо їх вкласти в цінні папери на два роки із складною обліковою ставкою 8 %?
Відповідь –11814,74 грн.
Вправа 5.6. Яку суму становить теперішня вартість 5000 грн., отриманих через три роки при нарощування за простою обліковою ставкою 11 %?
Відповідь –3350 грн.
Вправа 5.7. Визначить складну процентну ставку, еквівалентну простій процентній, що становить 13 %, якщо строк кредитування дорівнює 4 рокам.
Відповідь – 11%.
Вправа 5.8. Яка складна облікова ставка є еквівалентною простій процентній ставці 11% за умови, що строк кредитування становить 2 роки?
Відповідь – 9,5%.
Вправа 5.9. Визначить складну процентну ставку, еквівалентну простій процентній, яка становить 14 %, якщо строк кредитування - 180 днів.
Відповідь – 14,5%.
Вправа 5.10. Яка складна облікова ставка є еквівалентною простій обліковій ставці 8% за умови, що строк кредитування становить 2 роки?
Відповідь – 8,3%.
Вправа 5.11. Яка проста процентна ставка є еквівалентною простій обліковій ставці 10% за умови, що строк кредитування становить 4 років?
Відповідь – 16,7%.
Вправа 5.12. Яка складна процентна ставка є еквівалентною простій обліковій ставці 8% за умови, що строк кредитування становить 2 роки?
Відповідь – 9,1%.
Вправа 5.13. Визначить складну процентну ставку, еквівалентну складній обліковій 11,6 %, якщо строк кредитування становить 4 роки.
Відповідь – 13,1%.
Вправа 5.14. За фінансовим лізингом щорічний строковий платіж в кінці року становить 15 тис. грн. ; строк кредитування – 4 роки під 7 % річних. Якою є майбутня і теперішня вартість лізингового кредиту?
Відповідь – майбутня – 66,6 тис. грн., теперішня – 50,8 тис. грн..