Линейная зависимость векторов
Пусть задано множество векторов в линейном пространстве L
(1)
и некоторый ненулевой (если хотя бы одна из ) набор чисел
. (2)
Определение 1.
Вектор называется линейной комбинацией векторов системы (1), если он равен сумме попарных произведений векторов системы (1) с соответствующим числом набора (2).
(3)
ПРИМЕР 1.
.
Определение 2
|
. (4)
Если же равенство (4) выполняется только при всех , то система векторов (1) называется линейно-независимой.
ПРИМЕР 2.
Для векторов ,
,
запишем:
,
, следовательно векторы
- линейно-зависимы.
Замечание !!!
Если среди векторов системы (1) есть хотя бы один , система линейно-зависима. Пусть
,
для
и
. Пусть
по условию. Тогда
, следовательно, система (1) линейно-зависима.
Теорема 1 (критерий линейной зависимости векторов).
Для того чтобы система векторов была линейно-зависима, необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор системы можно было представить в виде линейной комбинации других векторов системы.
Доказательство.
Необходимость. Дана линейно-зависимая система (1). Требуется доказать, что . Из определения 2 следует, что
(5)
при ненулевом наборе . Пусть
. Из (5) можно найти
:
.
Достаточность. Дано
. (6)
|
![](images/image-719-201.gif)
![](images/image-721-179.gif)
![](images/image-723-175.gif)
Следствие!!!
Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные, т. е. – линейно-зависимы
, т. к. по условию коллинеарности следует, что
, откуда по теореме
– линейно-зависимы.
2. Условия линейной зависимости векторов
Теорема 2.
Три вектора линейно-зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, т. е. – линейно-зависимы
.
Доказательство.
Необходимость. Дано – линейно-зависимы. Доказать:
. Из теоремы 1 следует, что
, где
– числа. По определению
,
, следовательно,
пл. (
),
.
Достаточность. Дано: . Доказать, что
– линейно-зависимы. Представим три вектора в одной плоскости (рис.1). На основаниях векторов
построим параллелограмм так, чтобы вектор
был диагональю этого параллелограмма ONKM. Тогда
, следовательно, по теореме 1
– линейно-зависимы.
Теорема 3
Любые четыре вектора в линейно-зависимы.
Доказательство.
Изобразим произвольно 4 вектора в пространстве. По рис. 2
. Следовательно, по теореме 1,
– линейно-зависимы.
3. Базис пространств
Дана система векторов в L . (7)
Определение 3.
|
![](images/image-773-182.gif)
![](images/image-775-178.gif)
![](images/image-777-174.gif)
![](images/image-779-176.gif)
Определение 4.
Полная, линейно независимая система векторов в пространстве называется базисом этого пространства.
ПРИМЕР 3.
Если и
не коллинеарные, то в
они образуют базис. По определению они линейно-независимые. Это полная система потому, что присоединение 3-го вектора приведет к образованию трех компланарных векторов в
, а следовательно, согласно теореме 2 они линейно-зависимы.
Следствие !!!
Из теоремы 1 и определения 4 следует, что любой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов:
. (8)
Выражение (8) называется разложением вектора в данном базисе, а числа – координатами
в базисе B:
. В
чаще всего принимают базис, векторы которого ортогональны.
,
. (9)
Теорема 4 (единственности разложения вектора в базисе).
Разложение вектора в данном базисе единственно.
Доказательство (от противного).
Предположим, что верно (8) и верно
|
![](images/image-796-157.gif)
где
хотя бы для одного i. Вычтем из (8) равенство (10)
-
=
. Следовательно, система B линейно-зависима, а это противоречит тому, что система B – базис. Предположение не верно, т. е.
для любых i, значит, разложение единственное.
Определение 5.
Число векторов базиса называется размерностью пространства.
Следствие!!!
Из теоремы 2 следует, что 3 некомпланарных вектора образуют базис (трехмерное пространство).
4. Элементы теории проекций
Определение 6.
Проекцией вектора
на ось l ,если он сонаправлен с вектором
, называется число, равное длине вектора
, и противоположное число, если направление противоположно
(
, если
, и -
, если
).
=
,
где .
Теорема 5. .
Теорема 6. .
5. Декартов базис
В за базис примем
, где
;
,
– декартов базис. Тогда любой вектор
можно разложить в этом базисе (рис. 4).
, (11)
где – координаты
в базисе.
Теорема 7.
|
Из
. (12)
Согласно теореме 4 данное разложение (12) единственное. Из по определению нормы в
следует, что
,
, где
,
,
.
Определение 7.
Радиус-вектором точки называется вектор, соединяющий начало координат с этой точкой. Обозначается для точки как
;
.
Пусть даны точки и
. Их соответствующие радиус-векторы равны
и
(рис. 4). Из
получим
. Для проекции на Ox имеем
.
Аналогичные рассуждения можно провести для остальных проекций. Тогда получим:
(13)
Теорема 8.
Координаты вектора равны разности координат конца и начала вектор:
. (14)
6. Полярная система координат
В полярной системе координат вектор задается следующим образом. Задается его длина и угол
поворота, отложенный от положительного направления оси
. Положительный угол считается при повороте против часовой стрелки. Задать вектор в полярных координатах означает задать его норму и угол (рис. 5). То есть
– формула Эйлера, где i=
– мнимая единица. Данные вопросы относятся к теории комплексных чисел и будут изучаться позже. В соответствии с рис. 5 можно привести формулы, связывающие декартову и полярные системы координат:
,
. Окончательно получим
|
![](images/image-916-131.gif)
Заключение
В лекции векторная алгебра освящена на более высоком уровне. Декартова система координат представлена на основе теории проекций. Это дает более глубокое понимание вектора в трехмерном пространстве. Введено фундаментальное понятие «базис». Отметим следующее:
- размерность пространства определяется его базисом;
- линейная зависимость означает возможность представить один вектор в виде линейной комбинации других векторов;
- базис может быть и не ортогональным;
- разложение в данном базисе единственное;
- существуют другие системы координат.
Литература
1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.
2. Рыжков В. В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000, – 208 с.
3. Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1998.
4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
5. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.
6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, – 659 с.
7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Лань, 2002, – 440 с.
Лекция 7
Эвклидово пространство
|