Линейные операции сложения и умножения матрицы на число

Определение 7.

Суммой матриц А и В называется такая матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Пусть и . Тогда .

2.2. Справедливы свойства операции сложения

1. ;

2. ;

3. Существует 0-матрица, все элементы которой – нули: ;

4. Существует – противоположная матрица такая, что .
Определение 8.

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны произведению каждого элемента матрицы на это число.

, .

2.3. Свойства операции умножения матрицы на число

1. , , ;

2. ;

3. ;

4. .

Вывод !!! Все матрицы одного порядка образуют линейное пространство – .

2.2. Нелинейная операция, произведение матриц

Определение 9.

Произведением матрицы А порядка на матрицу В порядка называется матрица С порядка , любой элемент которой равен сумме попарных произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В

. (2)

ПРИМЕР 1.

Замечание !!!

Можно умножать лишь те матрицы, у которых совпадает число столбцов первой матрицы с числом строк во второй. Произведение матриц, в общем, не коммутативно – .

3. Обратная матрица

Определение 10.

Матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны нулям, называют диагональной
.

Определение 11.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называют единичной

.

Очевидно !!! 1. ; 2. Для квадратной матрицы .

Определение 12.

Если для A существует , то матрица А называется обратимой. Матрица называется обратной матрицы , если справедливо равенство

. (3)

Теорема 1

Если матрица А не вырождена, то она обратима, причем

. (4)

Доказательство.

По определению с учетом теоремы Лапласа

ПРИМЕР 2.

Дано . Найти .
Решение.

1) .

2) Найдем алгебраические дополнения и подставим в (4):

.

4. Ранг матрицы

Определение 13.

Минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов этой матрицы. Обозначается .

ПРИМЕР 3.

Для матрицы соответствуют миноры: , , .

Определение 14.

Рангом матрицы называется наивысший порядок k минора, отличный от нуля. Обозначается .

4.1. Правило нахождения ранга

- Проверяют все миноры первого порядка , то есть элементы матрицы.

- Если , проверяют все миноры второго порядка . Если все , то ранг матрицы .
- Если хотя бы один , то проверяют все миноры третьего порядка , и т. д. В примере .

Определение 15.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции над матрицей:

- перемена мест строк (столбцов);

- умножение всех элементов строк (столбцов) на одно и то же число ;

- прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

- отбрасывание строк (столбцов), состоящих из нулей.

Определение 16.

Если матрица А получена из матрицы В элементарными преобразованиями, то матрицы называются эквивалентными А~В.

Теорема 2

Если матрица А~В, то r(A)=r(B).

Следствие !!!

Ранг матрицы можно искать следующим образом: с помощью элементарных преобразований привести матрицу А к матрице, все элементы которой ниже главной диагонали равны нулям. Тогда ранг матрицы будет равен числу элементов на главной диагонали.

ПРИМЕР 4.

5. Преобразование координат

Пусть и – два произвольных базиса n-мерного линейного пространства R. Поскольку это базисы одного пространства, то каждый базисный вектор может быть представлен линейной комбинацией векторов

. (5)
То есть переход от первого ко второму базису задается матрицей (1). Предоставляем самостоятельно убедиться, что обратный переход осуществляется с помощью обратной матрицы (4).

. (6)

ПРИМЕР 5.

Даны два базиса в декартовой системе координат , , , и , , , (рис. 1). Определить матрицу перехода из одного базиса в другой.

Решение.Не трудно заметить, что

Следовательно, матрица перехода от базиса к базису будет иметь вид

.
Теперь любой вектор в базисе представим в базисе . При этом он будет иметь новые координаты . Представим вектор виде линейной комбинации базисных векторов

Осюда следует, что преобразование координат осуществляется за счет транспонированной обратной матрицы :

. (7)

ПРИМЕР 6.

Представим в исходном базисе , , , вектор (рис. 1). Переведем эти координаты в другой базис , , , . С учетом предыдущего примера запишем транспонированную обратную матрицу

.

Тогда новые координаты вектора получим согласно (7)

,

где - матрица-столбец координат вектора, то есть в новой системе координат вектор будет представлен как (рис. 1).

Заключение
В лекции расширено понятие «матрица», показано, как осуществлять операции над матрицами: сложение, умножение, элементарные преобразования. Обратная матрица связана с обычной через единичную матрицу, это надо помнить при решении систем линейных уравнений. Для этой же цели важно знать понятие «ранг матрицы». Преобразование координат с использованием матриц становится легкой операцией. Матрицы имеют широкое применение, в силу этого отмечается важность пройденной темы. Отметим:

- матрица – это таблица элементов любой природы;

- складываются матрицы поэлементно;

- умножаются матрицы методом «сумма произведений строка на столбец»;

- обратная матрица находится с помощью определителя и алгебраических дополнений;

- транспонированная матрица получается путем «поворота» матрицы;

- ранг матрицы – минор наивысшего порядка, отличный от нуля;

- преобразование базиса осуществляется за счет прямой матрицы;

- обратное преобразование базиса осуществляется за счет обратной матрицы;

- прямое преобразование координат осуществляется за счет обратной транспонированной матрицы.

Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра». – М.: Физматлит, 2001. – 318 с.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989. – 659 с.

4. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Факториал пресс, 2000. – 208 с.
Лекция 10