Общее уравнение плоскости и его исследование

Возьмем общее уравнение первого порядка и докажем, что ему соответствует плоскость. Для этого приведем его к виду (1). Общее уравнение первого порядка

. (3)
Преобразуем (3)

.

Сравним с (1) и сделаем вывод, что это уравнение плоскости, проходящей через точку и . Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Плоскость – это поверхность первого порядка. В зависимости от значений A, B, C и D плоскость занимает определенное положение относительно системы координат. Рассмотрим эти случаи.

I. Одна из констант A, B, C равна нулю.

1) Пусть A =0. Тогда . Вектор , (рис. 2).

2) Пусть B =0. Тогда . Вектор , (рис. 3).

3) Пусть C =0. Тогда . Вектор , (рис. 4).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных, то плоскость параллельна координатной оси, одноименной с отсутствующей переменной.

II. Свободный коэффициент D=0. Следовательно, точка или . Плоскость проходит через начало координат.

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует свободный коэффициент, то плоскость проходит через начало координат.

III. Одна из констант A, B, C равна нулю и D=0.

1) Пусть A =0. Тогда , и , (рис. 5).
2) Пусть B =0. Тогда , и , (рис. 6).

3) Пусть C =0. Тогда , и , (рис. 7).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует одна из переменных и свободный коэффициент, то плоскости принадлежит координатная ось, одноименная с отсутствующей переменной.

IV. Две из констант равна нулю:

1) Пусть A=B=0. Тогда , или (рис. 8).

2) Пусть A=C=0. Тогда , или (рис. 9).

3) Пусть B=C=0. Тогда , или (рис. 10).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости отсутствует две из переменных, то плоскость параллельна координатной плоскости, одноименной с отсутствующими переменными.
V. Две из констант равна нулю и D=0.

1) Пусть A=B=D=0. Тогда , или (рис. 11).

2) Пусть A=C=D=0. Тогда , или (рис. 12).

3) Пусть B=C=D=0. Тогда , или (рис. 13).

Вывод !!!

Если в общем уравнении плоскости две из переменных и свободный член отсутствуют, то плоскость есть координатная плоскость, одноименная отсутствующим переменным.

4. Уравнение плоскости в отрезках.

Возьмем общее уравнение плоскости (3). Обозначим точки пересечения плоскости с координатными осями как:

, , .

Поскольку эти точки принадлежат плоскости, то они должны удовлетворять (3). Подставим значение координат точек в (3) и получим

;

;

.

Подставим эти значения в (3)

или . (4)

Выражение (4) есть уравнение плоскости в отрезках.

ПРИМЕР 2.

Построить плоскость, заданную уравнением . Приведем это выражение к виду (3)
. То есть , . Это плоскость параллельная оси . Действительно можно представить как , где – бесконечно большая величина. То есть ось не пересекается плоскостью. Плоскость представлена на рис. 14.

5. Уравнение плоскости,

проходящей через три заданные точки

Даны три точки плоскости , , . Тогда для любой можно построить три вектора , , (рис. 15). По условию они лежат в одной плоскости, или компланарны, поэтому их смешанное произведение равно нулю. Получим уравнение плоскости

 

. (5)

 

6. Угол между двумя плоскостями

Пусть в заданы две плоскости и . Обозначим угол между плоскостями как . Очевидно, что этот угол , где и . Тогда
. (6)

6.1. Условие перпендикулярности плоскостей

или .

6.2. Условие параллельности плоскостей

или .

ПРИМЕР 3.

Дано: , ,

, .

Расположение плоскостей: , .

7. Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка и плоскость . Возьмем произвольную точку . Очевидно (рис. 16), что расстояние от точки до плоскости определяется проекцией вектора на вектор нормали . Следовательно,

Так как точка , то . Подставим это значение и получим

. (7)

Заключение
В лекции началось изучение раздела математики «Аналитическая геометрия». Важно понять, что вид аналитического выражения еще не говорит о том, кривая это или поверхность. Для полного представления необходимо рассматривать уравнение неразрывно с пространством, в котором оно анализируется. Лекция важна особенно в вопросах прикладного характера, например при создании геометрических математических моделей, моделирование физических объектов на ЭВМ, в компьютерной графике, при геометрическом расчете конструкций и т. д.

Отметим следующее:

- вид поверхности определяется видом уравнения и типом пространства;

- уравнения плоскости получаются на основе свойств векторов;

- плоскость в описывается общим уравнением первого порядка;

- вектор нормали к плоскости определяется координатами ;

- угол между плоскостями определяется на основе скалярного произведения векторов нормалей к плоскостям;

- расстояние от точки до плоскости определяется на основе свойств проекций.

Литература

1. Рыжков В.В. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Факториал пресс, 2000. -208 с.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа,1998.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989, - 659 с.

5. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.
Лекция 12